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feng321 (sfdf) 于 (Sat Dec 30 11:27:23 2023) 提到:
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feng321 (sfdf) 于 (Mon Jan 8 01:31:54 2024) 提到:
没有大佬关注一下?
【 在 feng321 的大作中提到: 】
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feng321 (sfdf) 于 (Mon Jan 8 01:40:18 2024) 提到:
((√2)^(√2))^(√2),这个结果竟然是2,是巧合?还是必然?(√2)^((√2)^(√2)),这个结果似乎是1.76....,结果似乎跟运算顺序有关啊?是不是这样的?
【 在 feng321 的大作中提到: 】
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bjdxyhzx (bjdxyhzx) 于 (Mon Jan 8 09:29:15 2024) 提到:
好像是哪里不对劲。
按照这个方法:
x^x^x^x^……=2的解是正负根号2
那么
x^x^x^x^……=4的解也是正负根号2
也就是说当x=正负根号2时,x^x^x^x^……可以等于2也可以等于4。
x^x^x^x^……这个东西好像不是传统意义上的函数,
x^x^x^x^……只有在满足x^y=y的个别x处有定义:x^x^x^x^……=y
不过,现在连小学数学奥赛都是名牌大学正规数学专业博士硕士出题辅导,
答案应该不会错,就是没有说明更深一层的知识。
咱不是数学专业的,不懂。
【 在 feng321 的大作中提到: 】
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never420 (新雨) 于 (Mon Jan 8 10:47:52 2024) 提到:
对,左边不收敛,不能乱算
【 在 analysis 的大作中提到: 】
: 显然是无解,因为可以按照图中方式求解的前提条件是,左边这个表达式的极限是存在的。
: 举个类似的例子,求
: 1-1+1-1+1-1……的值是多少
: ...................
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Haken1 (Haken1) 于 (Mon Jan 8 11:33:52 2024) 提到:
显然2里那人说的不对,但粗糙得目测a值收敛范围应该是小于2甚至是小于1.5?但绝对可以大于1
【 在 feng321 的大作中提到: 】
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feng321 (sfdf) 于 (Mon Jan 8 13:42:16 2024) 提到:
还真不一定
【 在 Haken1 的大作中提到: 】
: 显然2里那人说的不对,但粗糙得目测a值收敛范围应该是小于2甚至是小于1.5?但绝对可以大于1
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Polonium (钋-天下至毒) 于 (Mon Jan 8 14:01:52 2024) 提到:
负数的非特殊负数次方很难定义,我觉得只需要讨论明白正数的情况就行了
公式用文本不好写,我贴个图,点开图片可以更清晰
【 在 feng321 的大作中提到: 】
[upload=1][/upload]
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a0123456789q (a0123456789q) 于 (Mon Jan 8 14:06:49 2024) 提到:
This is in fact about a stream of real numbers:
x,x^x, x^(x^x),...
, where x^x means x to the power of x. Here only when x is positive will this stream be well defined.
Now the question is: does this stream converge?
If it indeed converges to a, then x^a = a. then x = a^(1/a).
As here a =2, hence x = 2^.5.
And now we need to prove that when x=2^.5, it indeed converges and the limit is 2^.5.
【 在 feng321 的大作中提到: 】
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maruko (没文化,真害怕) 于 (Mon Jan 8 15:22:39 2024) 提到:
我可以回答第二个问题,本质就是a^b^c先算哪个。约定俗成是先算b^c,所以第二个问题的说法不对。
【 在 feng321 的大作中提到: 】
: --
:
:
https://static.mysmth.net/nForum/att/Mathematics/91904/364/large "单击此查看原图"](
https://static.mysmth.net/nForum/att/Mathematics/91904/364)
:
: ..................
发自「今日水木 on iPad mini 5」
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maruko (没文化,真害怕) 于 (Mon Jan 8 15:29:18 2024) 提到:
4这里不对,不收敛了。你算算f(x+1)/f(x),即a^(f(x)-1)大于1的。
【 在 bjdxyhzx 的大作中提到: 】
: 好像是哪里不对劲。
: 按照这个方法:
: x^x^x^x^……=2的解是正负根号2
: 那么
: x^x^x^x^……=4的解也是正负根号2
: 也就是说当x=正负根号2时,x^x^x^x^……可以等于2也可以等于4。
:
: x^x^x^x^……这个东西好像不是传统意
: ..................
发自「今日水木 on iPad mini 5」
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feng321 (sfdf) 于 (Mon Jan 8 16:16:56 2024) 提到:
谢谢回复,只是,你这个数列是什么意思?怎么都是2?
你可以用计算器算一下,如下两个式子的值是否相等?
((根号2)^(根号2))^(根号2)
(根号2)^((根号2)^(根号2))
或者,简单一点:
(3^3)^3 和 3^(3^3)
如果这都不相等的话,说明原题肯定有原因(因为左边的值,和计算顺序有关)
【 在 Polonium 的大作中提到: 】
: 负数的非特殊负数次方很难定义,我觉得只需要讨论明白正数的情况就行了
: 公式用文本不好写,我贴个图,点开图片可以更清晰
: [upload=1][/upload]
[upload=1][/upload]
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feng321 (sfdf) 于 (Mon Jan 8 16:19:13 2024) 提到:
没有这样的“约定俗成”吧?按照你这个“约定俗成”,就是先算上面的,那上面还有上面,到底哪个是上面呢?
【 在 maruko 的大作中提到: 】
: 我可以回答第二个问题,本质就是a^b^c先算哪个。约定俗成是先算b^c,所以第二个问题的说法不对。
: :
: 发自「今日水木 on iPad mini 5」
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Polonium (钋-天下至毒) 于 (Mon Jan 8 16:39:21 2024) 提到:
你把a用根号2替换,然后用b1算b2、用b2算b3这样,就能算出来了
至于运算次序,没什么争议,从最上最小往下算就是了
类似于繁分数,最长的线最后算。次方这个,最大的数最后算,越小的越先算
【 在 feng321 的大作中提到: 】
: 谢谢回复,只是,你这个数列是什么意思?怎么都是2?
: 你可以用计算器算一下,如下两个式子的值是否相等?
: ((根号2)^(根号2))^(根号2)
: ...................
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maruko (没文化,真害怕) 于 (Mon Jan 8 18:18:25 2024) 提到:
真的有,你搜一下就知道了。这也是这个题一半的争议所在。
【 在 feng321 的大作中提到: 】
:
: 没有这样的“约定俗成”吧?按照你这个“约定俗成”,就是先算上面的,那上面还有上面,到底哪个是上面呢?
: --
:
发自「今日水木 on iPad mini 5」
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feng321 (sfdf) 于 (Mon Jan 8 20:33:57 2024) 提到:
按照你这个“约定俗成”,就是先算上面的,那上面还有上面,到底哪个是上面呢?
【 在 maruko 的大作中提到: 】
: 真的有,你搜一下就知道了。这也是这个题一半的争议所在。
: 发自「今日水木 on iPad mini 5」
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feng321 (sfdf) 于 (Mon Jan 8 20:41:03 2024) 提到:
中国湖北省武汉市江夏区 的朋友,搞英文,不是更难理解?
【 在 a0123456789q 的大作中提到: 】
: This is in fact about a stream of real numbers:
: x,x^x, x^(x^x),...
: , where x^x means x to the power of x. Here only when x is positive will this stream be well defined.
: ...................
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feng321 (sfdf) 于 (Mon Jan 8 22:49:08 2024) 提到:
谢谢,你最后的逻辑,可能有问题。
a= x^(1/x),这个函数,
当x>e时候,导数小于0,单调递减;
当0<x<e时候,导数大于0,单调递增;
所以,当x=e时候,取到最大值
就像二次方程 t^2-1=0,有两个解一样,你给的方程,可能也有两个解。
2^(1/2) = 根号2
4^(1/4) ,也等于 根号2
如果a= 根号2,a= x^(1/x) 至少有两个解:2和4.
所以,没有4是无意义 这种说法的。
第二:如果设 主贴等式的左边的极限等于4的话,即 a^4=4,一个正数解就是a=根号2
所以,还是有矛盾:
如果 a=根号2 的话,
a^(a^(a^ ......))有可能等于2,也有可能等于4.
第三:另外一位网友说,这个 a^(a^(a^ ......)) 式子,首先得从上面算,哪上面还有上面。。。。。,到底哪个算最上面?
谢谢,欢迎探讨
【 在 Polonium 的大作中提到: 】
: 负数的非特殊负数次方很难定义,我觉得只需要讨论明白正数的情况就行了
: 公式用文本不好写,我贴个图,点开图片可以更清晰
: [upload=1][/upload]
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feng321 (sfdf) 于 (Mon Jan 8 22:50:45 2024) 提到:
你真是大神,竟然发现 x^x^x^x^…… 即可以等于2,又可以等于4(当x=根号2的时候)
【 在 bjdxyhzx 的大作中提到: 】
: 好像是哪里不对劲。
: 按照这个方法:
: x^x^x^x^……=2的解是正负根号2
: ...................
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feng321 (sfdf) 于 (Mon Jan 8 23:37:21 2024) 提到:
这里也有个问题。你前面只是证明了数列{an}收敛(当a=根号2的时候)(理由是:单调有界数列必定收敛,这应该没问题)
但是,说收敛,没说肯定收敛于2啊。2、4都是只不过是他的一个上界(有上界,必定有无穷多个上界),所以 当a=根号2的时候,说 极限等于2,应该是有问题的。
至于a为不等于2的其他正数的时候,极限应该是多少,我也不知道。
数学分析里,似乎把这个叫做 “上确界”
【 在 Polonium 的大作中提到: 】
: 负数的非特殊负数次方很难定义,我觉得只需要讨论明白正数的情况就行了
: 公式用文本不好写,我贴个图,点开图片可以更清晰
: [upload=1][/upload]
[upload=1][/upload]
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feng321 (sfdf) 于 (Mon Jan 8 23:42:02 2024) 提到:
x^x^x^x^……=4的解也是正负根号2
你按照我主楼的方法,解一下上面等于4的方程,就知道了,x也等于根号2.
也就是说,x=根号2 的时候,x^x^x^x^…… 即可以等于2,也可以等于4.
这不奇怪吗?
【 在 maruko 的大作中提到: 】
: 4这里不对,不收敛了。你算算f(x+1)/f(x),即a^(f(x)-1)大于1的。
: 发自「今日水木 on iPad mini 5」
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maruko (没文化,真害怕) 于 (Tue Jan 9 06:35:24 2024) 提到:
不奇怪,因为你搞错了。
极限要存在才能这么算,4这个数字的式子是发散的,你非要去算就会得到奇怪的结论。
比如,通过简单的移项加减,可以算出所有自然数的和是-1/12,也是犯了同样的错误,明明是发散的你非要去算个极限。
【 在 feng321 的大作中提到: 】
:
: x^x^x^x^……=4的解也是正负根号2
: 你按照我主楼的方法,解一下上面等于4的方程,就知道了,x也等于根号2.
: 也就是说,x=根号2 的时候,x^x^x^x^…… 即可以等于2,也可以等于4.
: 这不奇怪吗?
: --
:
发自「今日水木 on iPad mini 5」
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maruko (没文化,真害怕) 于 (Tue Jan 9 06:37:12 2024) 提到:
先算最上面的。
这样看起来有的式子是没法算的,但没办法,出题不严谨就会有争议。
【 在 feng321 的大作中提到: 】
:
: 按照你这个“约定俗成”,就是先算上面的,那上面还有上面,到底哪个是上面呢?
: --
:
发自「今日水木 on iPad mini 5」
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feng321 (sfdf) 于 (Tue Jan 9 10:57:59 2024) 提到:
你这什么意思?是说主贴里的题目,不严谨?这不正是我的本意?主贴的题目,到底能不能算?
【 在 maruko 的大作中提到: 】
: 先算最上面的。
: 这样看起来有的式子是没法算的,但没办法,出题不严谨就会有争议。
: 发自「今日水木 on iPad mini 5」
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feng321 (sfdf) 于 (Tue Jan 9 11:25:41 2024) 提到:
“4这个数字的式子是发散的”,我大致写了一下(如附图),不知道你是否懂了我的意思?
对于数列{An},记Sn=A1+A2+... +An,为该数列的前n项和。则:只有 An的极限为0时,Sn的极限才
有可能存在。
如果An的极限不为0,则Sn的极限就根本不存在。
比如 {1,-1,1,-1,.......}这个数列,An的极限不为0,所以他 前n项和的极限,也是不存在的。
但{1/n},这个数列,An的极限存在,但前n项和的极限,还是不存在。
回到原题(类比一下),An=x^x^x...^x(n个x),当x=根号2的时候,An的极限既不是0,也不是1. 所以,估计Sn不收敛。
【 在 maruko 的大作中提到: 】
: 不奇怪,因为你搞错了。
: 极限要存在才能这么算,4这个数字的式子是发散的,你非要去算就会得到奇怪的结论。
: 比如,通过简单的移项加减,可以算出所有自然数的和是-1/12,也是犯了同样的错误,明明是发散的你非要去算个极限。
: ...................
[upload=1][/upload]
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Polonium (钋-天下至毒) 于 (Tue Jan 9 11:31:30 2024) 提到:
看了你回的一堆帖子,突然不想多解释了
再简单说下,懂就懂,不懂就是我才疏学浅好了。。。
能用a^x=x解出a是有前提的,必须数列极限x存在才能那样列方程
令x为一个达不到的极限值4硬去套这个公式,就跟在实数范围令sinx=2一样荒谬
容易理解随着a的增加,数列的极限也是单调增加的
a取到最大值e^(1/e)的时候,数列极限也取到最大值e,超过e的数列极限都是不可能达到的
事实胜于雄辩,用任何支持浮点数的编程语言写几行代码验证下:
令a=根号2时,无论怎么迭代,数列都是收敛到2的,不可能是4;
用a^3=3强行解出来的三次根号3赋值a,迭代出来的数列极限2.478053也小于e,达不到3;
赋值a=e^(1/e),迭代的结果是e;
重要的是,给a赋值任何更大的数,数列迭代都是发散到无穷大的,因此不可能迭代出3和4这样极限
至于运算次序,更没什么说的了,所有知道我贴图的算式怎么算的,都应该了解次方的优先级
说a^a^a^...从上不会算的更搞笑了,难道写成...^a^a^a你就会算了?这俩不是一样的吗
【 在 feng321 的大作中提到: 】
: 谢谢,你最后的逻辑,可能有问题。
: a= x^(1/x),这个函数,
: 当x>e时候,导数小于0,单调递减;
: ...................
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feng321 (sfdf) 于 (Tue Jan 9 11:50:56 2024) 提到:
我仔细 看了你这个说明,你只是说明了{an}单调递增、有上界,所以极限存在。这个应该可以接受。但极限存在,未必一定就是2啊!还有极限等于e的呢。
我上个帖子,说的就是这个意思。
欢迎探讨。。。
【 在 Polonium 的大作中提到: 】
: 负数的非特殊负数次方很难定义,我觉得只需要讨论明白正数的情况就行了
: 公式用文本不好写,我贴个图,点开图片可以更清晰
: [upload=1][/upload]
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Polonium (钋-天下至毒) 于 (Tue Jan 9 12:01:56 2024) 提到:
极限等于2是已知条件好吗?
极限x在[1,e]范围内都是可以达到的,用a^x=x可以解出极限x对应的a值
a和x都是关于对方单调增加的关系,因此是在合法的范围内a和x是一一对应的
极限x=2时,a只能为根号2;a=根号2时,极限x也必为2
【 在 feng321 的大作中提到: 】
: 我仔细 看了你这个说明,你只是说明了{an}单调递增、有上界,所以极限存在。这个应该可以接受。但极限存在,未必一定就是2啊!还有极限等于e的呢。
: 我上个帖子,说的就是这个意思。
: 欢迎探讨。。。
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a0123456789q (a0123456789q) 于 (Tue Jan 9 15:24:34 2024) 提到:
You cannot fix stupidity.
【 在 Polonium 的大作中提到: 】
: 看了你回的一堆帖子,突然不想多解释了
: 再简单说下,懂就懂,不懂就是我才疏学浅好了。。。
: 能用a^x=x解出a是有前提的,必须数列极限x存在才能那样列方程
: ...................
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feng321 (sfdf) 于 (Tue Jan 9 15:55:53 2024) 提到:
已知条件,不一定成立啊。我还可以给出一个已知条件:a^a^a^..... =4,求a
目前只证明了,{an}是单调递增、有上界的,说明极限肯定存在。但具体是多少,还有待证明啊。
【 在 Polonium 的大作中提到: 】
: 极限等于2是已知条件好吗?
: 极限x在[1,e]范围内都是可以达到的,用a^x=x可以解出极限x对应的a值
: a和x都是关于对方单调增加的关系,因此是在合法的范围内a和x是一一对应的
: ...................