浅见,抛砖引玉
分类推导时候不妨设x的系数大于0. 即A>0,a>0
引入直线的法线向量,比如Ax+By+C=0,它的法线向量(A,B),数形结合+向量 方式推导。
用带符号距离表示公式。
1)点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离,引入带符号距离: d=(Ax0+By0+C)/|(A,B)|
推导方法:把P作为原点。新坐标下直线方程 Ax+By+Ax0+By0+C=0。如此转化成原点到直线距离。
对比通常的公式:d=|Ax0+By0+C|/√(A?+B?)
2)点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的对称点Q(x,y)公式,类似参数方程形式
x=x0-2 d cosα
y=y0-2 d sinα
其中d为P到直线的带符号距离。α为法线向量(A,B)和x轴的交角。 cosα=A/|(A,B)|, sinα=B/|(A,B)|
对比通常的公式方法:(推导方式是用P和Q计算P和Q的中点坐标,加上一些换参数技巧,代入方程)
x=x0-2At
y=y0-2Bt
其中:t=(Ax0+By0+C)/ (A^2+B^2), 有的老师把t叫做对称因子。实际等于d/|(A,B)|,d为带符号距离。
3)直线ax+by+c=0 关于直线 Ax+By+C=0 的对称直线的方程
d=2D*cos<(a,b), (A,B)>
或者写成:d=2D*两法向量的点积/两法向量的模 即 d=2D*((ab)o(A,B))/ ( |(a,b)| |(A,B)|)
其中d,D分别为目标直线上的点(x,y)到原直线,和对称轴的带符号距离。
某个公式方法:
ax+by+c=2(aA+bB)*t, 其中t为对称因子,t=(Ax+By+C)/ (A^2+B^2)
【 在 Elale 的大作中提到: 】
: 现在貌似数学教材里面没有这些公式,所以老师要么不讲、要么讲完就通过练习题让学生多熟悉。
: 我是教孩子通过向量法记忆,不过不知道他能记住多少……
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FROM 120.85.115.*