10岁在上高中数学
牛的一塌糊涂
对数学的敏锐性让人震惊，我转一下
以下为转载：
其一，五岁的时候开始学小数和除法。我教的顺序是除以1, 除2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 最后才是除7，因为最难。他自己发现了一个规律：n/7的循环都是142856, 只是不同的n要从不同的位置出发（比如1/7对应初值1, 2/7对应2, 等等）。他自己找了张纸粘起来做了个纸环，把142856和对应的n列出来，就可以转着玩。
其二。他七岁的时候学了一点非常简单的复数运算，大概是教他二次方程求根公式时附带教的。过了几个月，教一般多项式的性质的时候我随口跟他提了一句，x^3=1这个三次方程除了你知道的一个实根以外，还有两个“很难的根藏起来了”。结果第二天他自己上课的时候偷偷地把另外两个带虚数的根凑出来了。我至今不知道当时他怎么凑出来的（他那时不知道欧拉公式和复数的极坐标形式）。
附：
我那天出于好奇，问了他当年刚刚接触复数，是怎么在不知道欧拉公式的情况下凑出来1的三次方根的两个复数解（ ）的。他的回答倒是非常自然：那时他已经知道怎么做多项式的竖式除法了，所以他的方法是这样的：1开三次方 必须满足 x^3-1=0 . 这个多项式有一个显然的根x=1. 所以他就用竖式除法得到(x^3-1)/(x-1)=x^2+x+1 , 剩下的就直接套二次求根公式就完了。
08/24/2019更新记录一下前天教他数学的一个小震惊。这两个星期我儿子缠着问我为什么有些正多边形可以通过尺规作图，另外一些不行。我用了一个多星期慢慢跟他讲明白了尺规能作出来的所有数（把平面上的点看做复数）构成一个复数的子域，并教会了他如何通过尺规构造整数，完成复数的四则运算，外带开平方根。这样他就明白了只要想构造的点，或者想构造的角度的余弦，可以写成有理数的四则运算和平方根（比如正十七边形的一个顶点），那么就可以尺规构造。接下来，为了证明有些正多边形不可构造，自然的就得教他一点基本的域扩张理论了。下面是对话：爸爸：你觉得C的维数是多少？儿子：应该是二吧？需要a, b两个数才能确定一个复数。老爸：你的回答不全面。当C被当做R上的线性空间时的确是二维，因为i不能被实数表达，但C也可以被当做在C自己上的线性空间，这个时候它就只有一维了。你要记住，在大学数学里，光说线性空间不够，我们还要指定它具体是在哪个域上的。儿子：我明白了。那么R是不是Q上的无穷维线性空间？老爸（震惊中）：你的猜想时对的。可以告诉爸爸为什么呢？儿子：根号二肯定不能用有理数表达对吧？根号三夜不行，然后还有好多，还别说那些超越数了
12/17/2020更新
记录上周末教儿子线性代数的一件小事。这个学期我在教他简单的线性代数，主要是一些计算性的东西比如高斯消元法，矩阵乘法，行列式，逆矩阵，内积投影等等。前两天他偶尔问了一个小问题，最后变成这样的形式：如果四个矩阵满足AB=CD, 那么能不能推出对于任何dimension compatible的矩阵E, AEB=CED? 这道题的答案当然是不行，但显然要证明它不能纯粹靠计算。基于我的科研经验，我首先想到的构造反例的方法是通过正交分解（eigen-decomposition），比如说令A, B, C, D为单位向量并满足A=B', C=D', AD=0。那么AB=CD=1. 构造对称矩阵E使得它的第一个与第二个特征向量为A与C，但它们相对的特征值不等。这样显然就构成了一个反例。在完全不知道特征值的条件下，我儿子给了一个我觉得还蛮惊艳的反证：令A=B=I (单位矩阵)，C，D可逆，不等于单位矩阵，并且互为逆矩阵所以CD=I. 这样的话我们要检验的等式就变成了E是否等于CED. 现在两边左乘D就变成了是否DE=ED。而这个等式一般情况下是不成立的。虽然这道题不难，但这算是他第一次自主证明了一道线性代数题。而且以我的非常主观的玄学看法，我的方法更偏计算而他的方法更加代数
【 在 tigereatmeat 的大作中提到: 】
: 现在进展怎么样了？
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