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- 主题:0.循环9=1的严格证明zz
- 如果是给小学生解释0.999...=1，随便怎么说都行。
但这些不叫数学上的严格证明，只是一个对正确结论的通俗解释。
对于中小学生，类似这种解释，够了，打住别往下讨论了。
只要记得，哪怕在幼儿园，碰到这问题都答“相等”！
要是老师判你错，随便摇任何一所大学的数学系硕博生帮你找回分。
同一数学命题的结论不随学段而变化，这跟物化生不一样。
能否看懂证明取决于个人知识水平，但看不懂证明不影响用费马大定理。
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以下只面向杠精:
如果非说这就是严格证明，那你去翻课本，哪里有无限循环小数的四则运算定义？
怎么证明 0.3333...+0.66666... = 0.999.....或 0.3333.. x 3 = 0.9999....?
感觉不会进位？那和感觉竖式运算1= 9/9 = 0.999....的有什么区别？
和感觉0.9999...越来越接近1，最后等于1有什么区别？
和感觉0.9999...始终离1有点距离，所以不等于有什么区别？
人类很多感觉是对的，但更多的直观感觉是错的。换个人，感觉就换了。
如果很相信自己感觉，去看看下，测测你的直观感觉对不对
不是伽利略指出，谁能直观感觉到大球和小球落得一样快？
不是爱因斯坦，谁会感觉到光速不变？
不是黎曼，谁会感觉得到去掉平行公设也行？
所以，所有基于感觉的无限小数的四则运算的证明，都不是严格证明
只是对一个正确命题的通俗化的直观解释。
数学很简单，基于给定公设前提下的逻辑推演。欧氏几何，平行公设是讨论的基础。
同样，初等数学这些问题都是基于实数体系
那就在实数体系的公设下，做严格的逻辑推演证明0.999...=1这命题是对或错。
其实数学上更普遍承认的是基于戴德金分割的证明，但算了吧，普通人更看不懂。
【 在 dingtao1985 的大作中提到: 】
: 1/3 = 0.333333……
: 2/3 = 0.666666……
: (1/3 + 2/3) = 0.33333…… + 0.66666……
: ...................
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修改:Zinux FROM 123.114.92.*
FROM 123.114.92.* - 实数体系里没有无穷小量，它不是实数
实数体系的超集：超现实数体系里有无穷小和无穷大
所以在超现实数体系里，0.9999... != 1
【 在 stmiles 的大作中提到: 】
: 首先，无穷小是不是一个实数？
: 在微分里面，无穷小量是存在的。。
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FROM 123.114.92.* - 公理是假定，无法证明，只有接受不接受。
平行公理是欧氏几何的假定。
阿基米德公理是实数体系的假定。
0.9999... = 1是基于阿基米德公理的实数体系下的逻辑推理结果，或者叫定理。
如果不接受阿基米德公理，可以。就跟选择非欧几何一样，可以选择别的数的体系。
比如超现实数体系，该体系下0.9999...确实不等于1.
但这不影响在实数体系下，0.99999...=1这个命题的正确性。
而中小学默认是实数体系的，所以该命题在中小学中，仍然是正确的。
【 在 stmiles 的大作中提到: 】
: 既然认为1和0.9999循环是相等的实数，为何要两种写法和定义？
: 为何不能用来反证阿基米德公理是错误的？
: 或者说他有前提？就是不引入无穷小量的概念？
: ...................
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FROM 123.114.92.* - 有限等比数列求和没法给证明。
而无限等比项的求和，涉及到极限，又绕回来了。
还不如直接证明 lim 10^(-n) = 0
【 在 ericzeng 的大作中提到: 】
: 你是因为认为0.50000循环=0.5，所以认为是有限小数与有限小数相等。
: 我据这个例子只是想说明，一个数值，有多种表达方式是很正常的，不能说因为找到两种不同表达方式，就能反证什么。
: 0.99循环，你就根据定义，它就是等于0.9+0.09+……，这是一个很简单的等比数列的无穷级数，用公式很明确能算出等于1的。
: ...................
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FROM 123.114.92.* - 我没说无限级数不能证明，只是那是脱裤子放屁的证明，还是要把极限拉进来。
如果把极限拉进来，何必要做什么等比求和证明，直接证明两者差的极限为0得了
【 在 ericzeng 的大作中提到: 】
: 关有限等比数列什么事？当然是无限极数啊。
: 无限等比数列的求和公式的证明，要用到0.99循环=1这个条件吗？如果没用到，为什么不能用来计算0.9循环=1？
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FROM 123.114.92.* - 我都懒得扯了，连只有对错之分的数学命题都来回扯不清
还觉得0.999...是某人拿着粉笔往后面写9呢
它是个实数，虽然有无限位数，但一直固定在实数轴的某个地方，不会动
就跟sqrt(2)，pi一样，虽然也是无限位，但都是固定在实数轴上某处的。
我们没法具体描述它在哪里，就跟无法描述sqrt(2)在哪，只能大略说
sqrt(2）在1.414和1.415之间，同样0.999...在0.999和1.000之间。
现在只是讨论：这个数0.999...和1在实数轴上是否处于相同位置
相同就相等。否则不相等。
【 在 stmiles 的大作中提到: 】
: 0.99循环的意思是你一直在加小数位，永远都停不下来
: 所以，一直在逼近1，但永远到不了1
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修改:Zinux FROM 123.114.92.*
FROM 123.114.92.* - 你放的都是有限位数的0.999...99，跟0.999....没关系
0.999...是个实数，虽然有无限位数，但一直固定在实数轴的某个地方，不会动
就跟sqrt(2)，pi一样，虽然也是无限位，但都是固定在实数轴上某处的。
我们没法具体描述它在哪里，就跟无法描述sqrt(2)在哪，只能大略说
sqrt(2）在1.414和1.415之间，同样0.999...在0.999和1.000之间。
【 在 gulunmu 的大作中提到: 】
: 如果我要画不完，你也永远不可能分割得完0.9和1之间的空间，那就永远有机会找到一个位置放你的0.9的9循环！
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修改:Zinux FROM 123.114.92.*
FROM 123.114.92.* - 你这样想是假设它与1之间有间隙，即两者不相等的前提的，循环论证了。
事实上它和1之间没有任何间隙
你找到的任何一个确定的小于1的有限位数，都在它的左边，而不是它与1之间。
【 在 gulunmu @ [ChildEducation] 的大作中提到: 】
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: 你看岔了吧？
: 我说的就是这个无限数是实数，在0.9和1之间的某个位置。
: 为什么不是1，就因为1之前的位置可以被无限切割，所以0.9循环有机会在这个无限切割的空间找到一个对应的位置。
: 他们这些说是1的人要用无限的概念，那我就也用无限的位置来迎接他们的无限。
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FROM 123.114.92.* - 用戴德金分割能证明它是个有理数
自己搜吧，我不想再扯了
当然如果引入戴德金分割，那直接证明两者相等就行，没必要再转过来实数稠密性啥的。
【 在 Eldo 的大作中提到: 】
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: 部分同意你的观点。
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: 0.9循环根本就不是一个实数。包括0.3循环等。0.*循环只是一个写法而已，实际上根本不存在这个数。
: 好比我生造出一个0.0*02(*代表无穷多个0)这个数。实际上并不存在这个数。你不能用无穷多去设定一个数。
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FROM 123.114.92.* - 你仔细看帖子的证明呀
只要你接受实数体系和阿基米德公理，该证明就是推翻了两者间存在任何实数的假设。而根据阿基米德公理，不相等的两实数间必然存在其他实数。所以这俩只能是相等的。
如果你不接受实数体系和公理，那就没啥讨论的必要了。
【 在 stmiles 的大作中提到: 】
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: 那也不能证明他们相等
: 还有可能是任何小于1的其它数<它<1
:
: 【 在 Zinux 的大作中提到: 】
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FROM 123.114.92.*