- 主题:以鸡兔同笼为例谈谈数学思想的教育
国内的数学教育,主要的弊端是让学生满足于套公式得出答案,许多数学科目变成了生搬硬套的计算,对于概念的思想与本质却领会不了,绝大部分人学习还是停留在掌握计算步骤的阶段,很难从整体上把握思想。 比如学习了概率统计不懂得啥叫随机变量,为什么这个量是随机变量,置信区间到底意味着什么。下面以鸡兔同笼为例谈谈这方面的教育。
鸡兔同笼问题:有若干只鸡和兔在同个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只腿。求笼中各有几只鸡和兔?
这就是鸡兔同笼问题,解法有很多,假设法,列方程,抬腿法,砍腿法,差量做比法等等。在这么多解法中,家长应该挑比较有思想的方法传授,有些奇技,看起来虽然巧妙,但是局限性很大,推广性很小。
我们看看用假设法来求解这个问题,假设35只都是鸡,那么就应该有2×35=70(只)腿,但实际上有94只腿,比假设的情况少了94-70=24(只)腿,出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换(其实用“变”更好理解)同样数量的鸡,那么每换一只,头的数目不变,腿数增加了2只。因此只要算出24里面有几个2,就可以求出兔的只数(24÷2=12)。进而还要让孩子总结出:兔子的数量=(所有的腿数-假设全鸡腿)÷(1只兔子的腿数-1只鸡的腿数)这样的公式。
下面要上升到思想层面的教育,假设法蕴含的思想是要满足一些条件(本题是头与腿的数量),可以不管其他的,先满足其中的一个条件(本题中的头数),在不改变这个条件的前提下,调整另一个条件(腿数),直到满足所有的条件。这个思想很重要,在很多大学课程里都有体现。而且也培养了清晰冷静的思维,因为人在思考的因素多的时候,就会一下子就想到这个因素,一下子想到那个因素,无法定在一个点上,思维很容易发生混乱。这样才能完成数学学习的三个层次,一是会解具体的题目;二是会从题目里总结出规律与方法;三是上升到思想层面。
真正的掌握了鸡兔同笼的假设法思想,以后遇到下面这样的题目也会解了(五六年级的水平)。
一项工程,甲队单独做需30天完成,乙队单独做需40天完成.甲队先单独做若干天后,由乙队接着做,共用35天完成了任务.甲、乙两队各做了多少天?
解:
甲的工效(一天完成的工程量):1/30
乙的工效(一天完成的工程量):1/40
假设法来了:假设全部工程由甲单独做完:35×1/30=7/6
多了7/6-1=1/6,把甲的后部分替换成工作效率慢的乙就能保证工程量不超了
乙比甲工效慢1/30-1/40-1/120,1/6÷1/120=20天,所以乙做了20天,甲做了15天。
注:这是以前发在本版的帖子,被加精了,发现现在也不能查看了,刚好找到了旧文,于是重发了一下。
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FROM 183.212.112.*
如果真正想过这个问题
估计才有点同感
【 在 twoeyes 的大作中提到: 】
: 看着太烧脑了
: 发自「今日水木 on OCE-AN10」
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FROM 223.104.155.*
其实你可以看看我昨天新写的创新那篇文章
我觉得更重要更普识一点
【 在 twoeyes 的大作中提到: 】
: 看着太烧脑了
: 发自「今日水木 on OCE-AN10」
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FROM 223.104.155.*
其实,方法类思想类的东西,并不是很多
可能一类题才有一个方法或思想
【 在 yingzh 的大作中提到: 】
: 家长一对一可以这样教,老师只能把这个方法讲一遍,然后让大部分不怎么灵光的孩子死记套路
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: #发自zSMTH-v-@HONOR YAL-AL00
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FROM 223.104.155.*
慢慢积累就可以了
比如说在大学遇到计算优化问题
(这个问题基本上工科都会学了,尤其是人工智能机器学习之类的课程)
先按住一个,让另一个动动看
这其实就是分析性思维的一种
没受过训练的总是想着应该两个一起动
按住一个怎么行呢
没有分析能力,然后也不会科学化解决问题
【 在 sunshine0807 的大作中提到: 】
: 我这么教过孩子,但孩子未必能体会到。
: 说白了,就是悟性,悟性高的孩子,就算你按套路教,他也不但能举一反三,也能触类旁通,更能自己"悟"出思想
: 一般的孩子,能做到按套路照猫画虎就不错了
: ...................
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FROM 223.104.155.*
要是老师有能力又喜欢多琢磨的话
可以举一些简单的生活例子助于理解
【 在 yingzh 的大作中提到: 】
: 确实不多,不过需要智力发育到一定水平才比较好理解。
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: #发自zSMTH-v-@HONOR YAL-AL00
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FROM 223.104.155.*
不用提哪个国家
至少有个理想的情形放在那里追求
当然,我比较痛心的是
现在的孩子学的那么苦,然而呢
时间花进去不仅没有好的收益
可能还养成套公式之类的囫囵吞枣的恶习
我在创新一文中有更细致的阐述
【 在 alanju 的大作中提到: 】
: 楼主讲得很多内容不错。
: 不过有个重要问题,麻烦科普下 哪个国家的数学教育 能达到楼主的目标。
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: ...................
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FROM 223.104.155.*
数学书籍
那我就说说两个h一是美国的教材,基本上大学数学可能还是从一加一说起,遇到一个概念,更是把人当白痴一样揉碎了讲,比如托马斯微积分,普林斯顿系列,还有线性代数书籍,吉尔伯特,lay的比国内抄苏系列的那种残本强多了吧,都是把概念掰开揉碎了,让方法与思想完全敞开露出来。
再说一个日本,傅里叶变换,偏微分方程都化成漫画书了
【 在 alanju 的大作中提到: 】
: 麻烦科普下 哪个国家的数学教育 能达到楼主的目标。
: 还有具体哪个教材。
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FROM 223.104.155.*
发信人: hut (浮尘落尽), 信区: ChildEducation
标 题: 算术解法与方程解法
发信站: 水木社区 (Fri Feb 28 10:53:27 2020), 站内
我的观点是:先学好传统的算术解法,条件成熟时再上方程解法。
理由如下:
1.算术解法可以训练大脑与思维
有一些需要逆向思维的题目,用算术解比较耗脑子,设一个未知数用方程求解,可以将逆向思维变成顺向思维,然后用一种程式化的解题方法得出问题答案,让解题的难度降低了不少。但是数学的学习不仅仅是得出问题的答案,学会一种菜单式的套路,我们还是希望收获一些更多的东西的,对于一些题目,算术法要求综合运用题目里的条件,需要艰苦的逆向思考,耗费的脑力高,但是正是这种训练,极大的提高了大脑神经元回路,最耗脑力的笨方法,其实就是最训练大脑的方法,还能培养坚毅的品格。
大家都说算术解法有利于培养学生的思维与思想,但是具体的是怎么的培养的就没有人能深究了。我觉得,算术法离思想更进一些,套路一般局限于一些特定的应用场景,而思想是可以运用到很多地方的。比如说鸡兔同笼的假设法思想(蕴含的思想就是假设一个因素变化到极端是怎样影响结果的,这种思维可以运用到很多问题的解决场景,是一种通用的思维决策方法。
当然了,算术法一般都是方程的某种特定的解法,从方程的解法也是可以看出思想的,但是这需要很强的数感与很抽象的思维能力了,不可能在二年级左右就可以培养的,思想是一颗种子,早一点生根发芽,会让人受益匪浅更多一些的。
2.算术法有利于培养一种良好的解决问题的习惯
算术法需要对问题的结构有着透彻的把握,然后探索解题信息,自己想办法解决,最后才能找出答案,这是解决问题的正确态度。然而,人性的喜逸恶劳加上应试教育的环境,人已经很难有耐心去仔细琢磨问题,遇到题目,还没分析透彻,就开始去搜有没有相似的套路了,这样培养出来的人只会山寨一些简单的东西而无真正的创新能力,而一些题目的方程解法会助长这种套路化的恶习。举一个简单的例子,不理解面积的概念,但是会使用面积公式也能解很多题目了,但是遇到没法套公式直接求面积的就歇菜了,这些恶习就导致了看起来我们国家的小孩数学比国外好,但是科研却无真正的创新,教科书都是公式套路化的,偏于计算步骤的说明,缺乏对概念与思想的洞察。
3.算术法也是方程法的基础
方程法最重要的两步,一是列方程的建模能力,一是解方程的计算能力,列方程建模需要读懂题意然后用将自然语言转换为数学表达式,这涉及到抽象的符号化表示与语言转换,尤其是从具体的直观的常量化思维到变量化的思维,对思维的成熟度有很高的要求,低幼阶段是很难理解的。解方程的话涉及到等量代换,四则运算,移项逆项,对计算以及代数变换要求也挺高,需要挺多的知识积累,也非低幼阶段所能理解。低幼阶段学的那些解法,首先需要洞察问题的结构与数量关系,这其实是给列方程打基础,那些算术法的奇技淫巧,大部分是方程解法的具体直观化,也是深刻理解解方程的基础。这样,到了能理解方程的阶段的时候,就可以用方程与算术法对比一下,方程解法水到渠成,就很容易理解了。
【 在 mopo 的大作中提到: 】
: 用方程式清晰无歧义,为啥一定要用这么绕的思路呢?大部分人并不需要理解每个工具的前世今生,否则义务教育都得花20年
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FROM 223.104.155.*
嗯
所谓的教育人的三个层次
知识 技能 思维
知识点的掌握不难
把知识用到实践中成为技能,但只是狭窄的小领域
把知识再上一个层次就能以个例推到普识性更广的思维层面,应用更广了,学习投入的受益更大
【 在 lovefreewind 的大作中提到: 】
: 我也是这么思考的,数学思维很重要,结果并不重要。
: 经常看到抖音上那些学而思、作业帮的所谓母题视频,化万物为公式,真无语啊!数学要是这么学可完犊子了。
: 不过话说回来,如果真这么学,小学阶段的成绩可能还真能一路领先。
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FROM 223.104.155.*