交食历指叙

    或问：日月薄蚀，是灾变吗？不是灾变吗？
    如果说是的，则躔度有常，上下百千万年，如视手掌耳，岂人世之吉凶，也可以筹算穷尽的么？
    如果说不是，则古圣贤戒惧修省，又复何说呢？
    答：灾与变不同。灾与灾，变与变，又各不同。
    如水旱虫蝗之属，伤害民物的，是灾；
    日月薄蚀，无患害可指，然而以理揣测之，日为万光之源，是生暄燠；月为夜光之首，是生湿润。
    大圆之中只有这二曜，相资相济，以生万有。若能施之体，受其蔽亏，即所施之物，成其缺陷矣。
    况一朔一望，两光盛长受损之势，将愈甚焉。这就称为无形之灾，不可谓非灾也。
    至于晕珥彗孛之属，非凡所有者，属于异。交食虽躔度有常，推步可致，然而光明下济，忽然掩抑，
    如月食人景深者，乃至倍于月体；日食既者，乃至书晦星见，嘻其甚矣。是则常中之变，不可谓
    非变也。既属灾变，即宜视为谴告，侧身修省，所以有修德正事之训，有无驰驱之戒，兢业日慎，
    犹惧不塈矣。
    那么，既称灾变，凡厥事应可豫占吗？可以豫备吗？
    答：从古历家，不讲事应。说事应的，是天文家也。天文之学，牵合传会，傥过信其说，不但无益，
    害处很大。想要辨其伪，总之能言其所以然者近是。如日月薄蚀，应该论其时，论其地。论时，
    则正照者灾深；论地，则食少者灾减。然而月食天下都是一样的，应该专计时；日食，九服各异，
    应该一起记地点。至于五纬恒星，其与二曜，各有顺逆乖违之性，亢害承制之理，方隅冲合之势，
    为其术者，一一持之有故。然而以为必然不错，终不可得也。只有豫备依法，则所谓灾害者，
    不过水旱虫蝗疾疠兵戎事而已，诚以钦若昭事之衷，修勤恤顾畏之实，过求夙戒，时至而救之者
    裕如，则所谓天不能使之灾，又何必徴休咎于梓裨，问祲祥于京翼乎？
    
    然则星历之家，概求精密，尤勤于交食，是为什么呢？
    答：太阴距离人最近，虽然有视差，凡人目所见，人器所测，则视度而已。其实行度分，非人可见，
    非器可测，必以食甚时知为定望，与日正相对，从而知道其实度，从而知道其本行自余行度，
    逐渐可以推算也。
    又因为月食，知地景为角体之形，月体过之，其距地相同，而入景之深浅不同，可推日在其本天行，
    与地为不同心也。
    又因为日食，推月距地时时不等，知其有本轮，有次轮也。
    又兼以日月食，推日月体之小大，及日月距地之远近也。
    别有度地之学，因月食可推地在天之最中，其四周皆以大为上。人则环居地面也。
    又因月食，知地景为圆体，而居东者，渐远渐后见食，即非月食以地为先后，特因各所见之时刻为
    先后也。
    因以推地为圆体，而水附于地，合为一球也。
    又以月食与子午线相距远近，知诸方之地经度也。
    若泯薄蚀于二曜，即造历者，虽神明默成，无所措其意矣。
    是则交食者，密术之所繇生。故作者述者，咸于此尽心焉。
    今撰历指，有合论，有分论月食术，稍简以附合论之末。日食颇繁，丽为别卷。
    诸立成表，以类从之，谨列条目如下。

    （目录略）
    
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太阳光照月及地 第一

    日月地三球体，大小不等。
    地为静体，日月则有诸种行度，则有高低内外。其距离地、距离人远近不等。
    法当以大小之比例，及其相远相近之比例，推其施光受光之体势，然后得
    景之体势，因而得交食之体势。因为交食生于景，景生于光。不寻其本，而求其末，
    无法可得。其说五章。

一说：
    有两球于此，一为暗体，一为明体，而大小相等。则明体以半面施光，暗体以半面受光。


【图1】
    如图，甲为明球，乙为暗球，大小相等。则其径丙丁及戊巳，与各甲乙线为直角，
    而丙丁与戊巳相等。则甲丙、甲丁、乙戊、乙巳与甲庚、乙辛皆以半径相等。
    而丙庚丁半球与戊辛巳半球也相等。

    今于明球之旁，从丙、从丁出两切线，至暗球之旁戊、巳。戊巳与丙丁为平行线。
    即丙戊与丁巳也是平行线（见几何一卷33题）。
    又因丙戊乙及丁巳乙都是直角，则戊丙甲及巳丁甲也都是直角（见几何一卷29题）。
    则丙戊、丁巳线不能割两球，而只能切两周于丙、于戊、于丁、于巳。
    其所抱为丙庚丁，为戊辛巳，是甲乙两球之各半。

    如果日月地三球相等，而月与地皆以半面受太阳之光，如上所说，则定朔日食，
    半个地面都可以看见，就不会有南北不等的食分了。望日太阴全食时，食既即生光，
    就不会再有食甚时刻及既内分了。现在都不见，可见三球不是相等之球。

二说：
    明体大，暗体小，则施光以小半，受光以大半。


【图2】
    如图，甲为明球，乙为暗球。作两切线，为丙巳、为戊庚。
    从四切点作横线，为丙戊，为巳庚。
    甲是大球，即巳丙戊为锐角，丙巳庚为钝角。如不然或皆为直角，则庚戊丙、戊庚巳皆为直角，
    两切线必平行，而乙球与甲球相等（几何一卷28题），必不然也。或巳丙戊反为钝角，而丙巳庚
    反为锐角，即两切线不能相交于癸，又不然也。今以两切线相交于癸，明巳丙午为锐角，丙巳庚
    为钝角，即于丙丁戊弧内，作负圈角，必然是钝角；于巳壬庚内，作负圈角，必然是锐角
    （几何3卷31、32题）。所以丙丁戊施光者，不及半圈，巳壬庚受光者，又不止半圈也。
    因此推知太阳照地及太阴，必各照其大半，而暗体所隔之日光渐远，又渐敛渐进，以趋于一处。
    即景居暗球之背，不得不为用体之形矣。
    又因此推求望日先后，人目所见太阴受日之光，不长不消者久之，而后生暗，此为何故？
    这也是因为月体以大半受光，以小半入于人目，光不辄转，而暗未遽见。所以未望时已见全光，
    已望后尤未失全光了。

三说：
    明体小，暗体大，则施光以大半，受光以小半。
    如前图，反论之，可明太阴何以照地，而地为何反隔日之光也。

四说：
    大施小受，越相近，则施者之小半越小，受者之大半越大。


【图3】    
    如图，丙为小暗球，甲与乙都是大明球。
    作庚未直线，过三球心，以交于左右切线。其乙球之两切线交于午，甲球之两切线交于未。
    则庚未长于乙午，而庚丁未与乙辛午两角、庚丁与乙辛两线皆相等。则庚未线与庚丁线之比例，
    大于乙午与乙辛，而丁庚未角大于辛乙午角也（见几何五卷8题）。
    又庚未线过三球心，必截丁巳、辛癸两线为两平分，而庚甲丁、乙子辛两形内之甲与子，皆为直角，
    则其余庚、丁两角之和与乙、辛两角两角之和相等。一直角，则两并率相等（几何一卷22题）。
    两并率之甲庚丁角，大于子乙辛角。各减之所存庚丁甲角，必小于乙辛子角。
    然后以庚丁甲及乙辛子不等之两角，各减庚丁未及乙辛午相等之两直角，所存甲丁未角，更大于
    子辛午角。又丁戊巳弧内作负圈角，必等于甲丁未角。辛壬弧内作负圈角，必等于子辛午角。
    辛壬癸弧之负圈角，既小于丁戊巳弧之负圈角，则辛壬癸弧必大于丁戊巳弧（几何三卷31、32题）。
    辰寅巳与辛壬癸是相似之弧，丑寅卯与丁戊巳也是相似之弧（大小圈左右各有切线，其切点过分圈之线，
    其所分大小圈分各相似，其大小两弧也相似）。则辰寅巳弧也大于丑寅卯弧。
    可见明球在近，比在远者，更能照小暗球之多分。

    因此推知日全食而视为大者，是因为日体距离月体远；日全食而视为小者，是因为日体距离月体近。
    日与月都有自行圈，与地不同心，其行于自行圈之上下，为最高最低，则为距地之远近，因此产生
    景之大小。

    日既全食矣，又何以分大小？
    月掩日至既，有时书晦，恒星皆见，虫飞鸟栖，此为全食而大；月在日内，从中掩蔽，虽至食既，
    而其四周日光皆见，历家谓之金环，此为全食而小。像这样的情况，日与月与地相距或远或近是发生的原因。

五说：
    小施大受，越相远，则施者之大半渐小，受者之小半渐大。

    
【图4】
    如图，甲乙皆为小明球，丙为大暗球。乙去丙远于甲。作各切线，过三球心之直线皆如前。
    然后从暗球心丙，至各切点，作丙丁、丙巳、丙庚、丙辛各半径，得丙丁为丁壬之垂线，
    丙庚为庚癸之垂线，而丁与庚皆为直角。丙丁与丙庚两线又相等，则丙癸线与丙庚半径之比例，
    大于丙壬与丙丁，而丙庚癸角又大于丙丁壬角（几何五卷8题）。依显丙丁癸角也大于丙巳壬角，
    加上前率，为庚丙辛合角也大于丁丙巳合角。而其弧庚戊辛必大于丁戊巳。
    可见小明球照大暗球，越远越照其多分。
    现在按照本图，设丙为地，外切线（就是癸辛）以内为地景（日光过丙大球近出景），甲乙两小球
    为月体。其两小球之大小既然相等，则同以外切线为外光之界，或为内景之界。只是因为月体
    循本轮行，有时居上周如乙，则距地远；有时居下周如甲，则距地近。所以月食之分数有多有寡，
    月居影厚处如甲左右，则食多；月居影薄处如乙左右，则食寡。
    所以说，月食有多寡，也是因为相距或远或近产生的。
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景之形势 第三

    求食分之几何，必先求景之几何。
    所谓景之几何，就是以日月地之大，得景之形势，以日月地相距之远近分数，得景之变易大小分数。
    此所谓景之形势。后考其变易之势，得景分以定食分焉。有二章。

一说：
    二体相等，其影平行而无穷；明小暗大，其景渐展而无穷。
    论相等者，证以平行之切线也。


【图1】
    如图，甲乙两球相等，丙巳、丁戊为两球之切线，与两球之径丙丁、巳戊遇于切点。
    皆为直角，则互为平行线。
    又球相等，则径之长短也相等，以遇丙巳及丁戊，都是平行线（几何一卷13题）。
    若两球之周遭切线无数，皆同此论，则引之至庚辛，以迨无穷，终平行，终不能相遇，
    而其形为长圆柱之无穷体。

    论明球小于暗球，则推以三角形相似之比例也。


【图2】
    如图，乙丙为小明球，丁戊为大暗球。两球之切线丁乙及戊丙，引长之过小球，
    必相遇于甲，成甲丁戊三角形。又从丁戊底作巳庚平行线，在大球之外，
    成庚甲巳三角形，与甲丁戊相似。则甲巳庚角与甲丁戊角相等，其各边各角皆相似，
    而甲丁与丁戊之比，与甲巳与巳庚之比相等。反而更之，巳庚与丁戊之比，
    与甲巳与甲丁之比相等。则巳庚也长于丁戊，越远越长。
    可见大球之影，渐远渐大（几何六卷4题）。
    再论丁戊线之内外角。则再内为锐角，在外为钝角。所以引切线向内，过小球必相遇；
    引之向外，越远越大，终不相遇。而其形为无限长、无限广之角体。
    又因两球所居远近不同，其景之张合，随而变易。所以两球相近，则乙丙底线为小，
    其景越狭，而乙甲丙角形越短；两球相远，则底线为大，其景越宽，而角形越长。

    今验诸日食，有食分，而所历时刻不同的原因，就是月景在地面广狭不同。
    月与日会，月在日与地之间。或者月近地而日在远，则目之见界，过月周至日体，
    其界广，日过迟，其见时刻多；或者月远地而日反近，则目之见界，过月周至日体，
    其界狭，日过宿，其见时刻少。
    以前图明之，目在甲，乙丙为月体，丁戊为日体。切线甲丁及甲戊为目所见之界。
    若日在近为丁戊，即从丁过戊，道近行速，其食时寡；若在远为巳庚，从巳过庚，
    道远行迟，其食时多。都是太阳有不同心圆，而太阴又有小轮的原因。

二说：
    日月地三体，大小不同。
    所有暗体出角景，施光之体必大于暗体。否则，其光不能照暗体之大半，而使其景渐小
    以趋于尽也。
    试观月食时，月体近地，则入大景；远地，则入小景，越远越小，必至于尽。怎能不信
    日体大于地体呢？假设日体与地体或者相等，则景应该也相等、或小，则应该渐大，
    又当皆为无穷之景。遇望时，月体必不能出大影之外，不应有不食之望了。
    之所以有不食，是因为地景之越远越锐。月食于地景之中，又有全而且久的，是因为
    月径更小于景，而景小于地；地景之远而更锐，是因为日大于地。
    这是以景理推论三体之大小，略可明矣。
    若又以日体之大推月地之景，则更有法，可以考察其大小之比例也。
    昔人因太阳照地所生之景，及其远近，其视径，时时不同，又以较于他体，得其实体之大。
    说法见月离历指终。此独用视径，定食时刻分之数，其论实体为景与食之原因，略举一二如下：

    几何原本论三角形，于一边之两界出两线，再作一三角形在其内，则内形两腰相加，
    必小于相对两腰；而后两线所作角，必大于相对角。


【图3】
    如图，甲乙为太阳之径，丙为目，从远视之；丁也为目，从近视之。这就是所谓内外两三角形了。
    今先以线论，因为内形之甲丁、乙丁两腰，小于相对之甲丙、乙丙两腰，则所作丁角，比相对之
    丙交，也近于共用之甲乙底，近则见大。所以丁目视甲乙日径，必见大于丙目所视之甲乙径。
    然后以角论，因为内两线所作丁角，大于相对丙角，则此内角所对线，也似大于外角所对线。
    而丁目所见之甲乙，大于丙目所见之甲乙，是太阳视径不同的原因也。

    求太阳实体之大。
    第谷设最高最低之中处，得其距地1150倍地半径。全数10万，其半径15分30秒，得正弦451，
    以三率算法，推其全径，得地之全径5又14/75，相当于389/75。又以其径与其周之比例，
    得太阳体之立方58863869，地球之立方421875。其终数得140弱，为太阳大于地球之倍数也。
    这是其照月地生角体锐景之源头。
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日月食合论 第七

    日食与月食不同势。食日称之为障食，食月称之为藏食。
    什么叫障食？日为诸光之宗，月与星，都从之受光。月之食日，并非真的食日。
    定朔，则地与月与日，自下而尚为一线相参直。月本暗体，今在日与地之间，
    以暗体之上半，受光于日，以下半射景于地，如屏蔽然，特能下掩人目，而不能
    上侵，日体之原光还是原样。所以人见为食，而实际并非食。
    什么叫做藏食？定望，则日月相对，日光正照之，月体正受之，人目正视之。
    如果此际经度相及，适及两交，日与地与月，也成一线相参直，而地在日与月之间，
    地既为暗体，以其半体受光于日，以其半体射景于月。若月体全入景中，则纯为晦魄，
    必待出于景际，然后苏而生明，就像没而复出者一样，这就可谓是真食也。
    总之，日月两曜，如果同一行道之上，则每朔每望，无不食矣；日月地三体，如果
    并不居一直线，则永无食矣；只有各行一道，有时及于两交。所以日与月都是每隔
    5月而1食，或6月而1食。岁岁大率有之。不食者，半食于夜。日食则此方所见，
    他方所不见耳，其食也，日体恒居一直线之此界，其彼界，则月体地体叠居焉。
    月居末界，则月面之日光，食于地景矣；地居末界，则地面之日光，食于月景矣。


【图1】
    如图，甲为地，巳为日，卯辰圈为黄道，乙丙圈为白道，其大距（两距之最远）5度弱（2分），
    丁、戊为两交（即龙头、龙尾，也称罗候、计都）。

    论月食，日照地球，其光自庚辛至地，切两旁过之，而复合于壬。自甲至壬角体之形为地景。
    地景之心，恒随太阳而行黄道中线。
    若躔处距离两交远，二径折半小于两道之距度分，月行本道从旁相过不能逮及，则不食矣。
    若正遇于两交，或交之左右，二径折半，大于二道之距度分，则两相涉入，月为之食。
    其食分多寡在距度广狭，距度广狭在距离交的远近也。

    论日食，则人目所见，恒在地面，推得实会，仍需推其视会。若仅据实会，则是地心之见食，
    而非地面之见食。所有的有无多寡，加时先后，悉数乖失矣。
    如图，人在地面癸。按照丁月之径，适满太阳之庚辛径，则见为全食。若人在地面子，
    按照丁月之径，可以看见两切线所至为巳、寅，则所见为半食矣。
    大凡日欲食时，月不能离躔道1度强。自此以上，无缘相涉。所以定朔之日，有食时少，
    无食时多也。
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