求北中界日食限
    北中界，指的是地居赤道之北，南不至赤道北、不至北极。
    现在按照南方极出地18度，北方极出地42度，定日食之限。
    则最广者，太阴距南，其交常度7度31分；太阴距北，其交常度17度35分，为可食之限。
    最狭者，太阴距南交常7度，距北交常16度53分，为必食之限。
    之所以有广狭，是因为二径折半有大有小，即相会时所当距度不同，所以所限交周度也不一样。
    
    太阴分南北而定最大日食之限，有二义：
        1. 论地。总本界中，有一方距北之最大者，以17度为限；又有一方为距南之最大者，
            以7度为限。不是说一方所见，距北17可得17，距南又可得7也。
        2. 论黄道度。说本界中有地有时。太阴或南或北，距天顶最远，则其距度最大，
            以加于太阴实距度，得其最大限，在北可至17度，在南可得7度。
            也不是说诸宫交会，皆可得7度17度之限也。

    今试于本界中。
    论地，先论其极高40度者。
    又于本地论时，先论其不甚远于天顶者。
    如日月交会在夏至鹑首宫初度，设当时不会于正午。
    其高低差，变为南北差者，必少。
    而所增视距度，亦少。
    即所得者，不为其最大限，必设实会正午，月距黄道北，得其高弧73度28分，
    以推高低差18分08秒。
    全变为太阴南北差，依法加于二径折半，得50分58秒，为黄白两道之视距度。
    则所值交周度得10度，为顺天府北极同高地，黄道本度，月距北日食之最大限。可食也。
    设月距南，则二径折半共32分50秒，反减太阴南北差18分08秒，得两道视距14分42秒，
    所值交周只有2度50分，为本地本度，月距南日食之大限，可食也。

    然后论其甚远于天顶者。
    设日月在冬至星纪宫初度，会亦正午，其高弧26度30分。
    推得高低差，即南北差56分24秒。
    加二径折半，得黄白两道总距1度29分14秒，为月实距南所推最大日可食之限17度24分。
    之所以这样，人目所见，日月以两心合会，必在太阴所离视道交黄道之处，距其两道实交还有11度。
    又本南北差减二径折半，得距度23分34秒，相当者得4度32分，为太阴尚不及实交，未过黄道南。
    因为视差的原因，人目所见，则已过交，出日食限之外矣。


【图4】
    如图，丙为太阴，丁为太阳，甲为黄白两道之实交。
    论实距度，则日月至甲，应该相掩而食。
    今冬至，南北差甚大，太阴之视行，循丙乙视道，尚在巳。距甲远。
    则巳切太阳周，入日食之限。
    后太阳丁行黄道至乙，与太阴视道相遇，是为视交，即二曜以两心会合，能全食。
    若再前至辛，日月亦未实交甲，太阴实未过黄道南，而视行则已过太阳之南，则丙不能掩日，亦不能切日，不食矣。
    可见太阴实距北点，在巳，为顺天府同纬度地最大食限，得17度多；
    至辛，遂出食限之外。
    况且过甲而后，实距南，其视度距太阳甚远，怎么可能还有食呢？

    再于本届中论地。
    论其极高18度者，先设日月在冬至星纪宫初度，会实在正午，得高弧48度30分高低差，同变为南北差41分58秒。
    加二径折半，总得两道相距1度14分48秒。
    外此，无日食。
    在其内，可食。相值之食限14度32分。其食甚，亦未至实交也。
    若行至实交，则太阴以视度过交而南41分58秒矣。
    以较二径折半，则视距为大，不就是已经出两食限之外了么？就不会有食。

    设日月会于夏至鹑首宫初度，此在天顶北5度30分，得高弧84度30分。推南北差得6分08秒。
    以加二径折半，得38分58秒，为太阴入阳历两道相距度。
    二曜至此，即以周相切，推得日食限7度31分。
    若月距北，则两半径减南北差，余26分52秒，仅得5度10分，为日食限也。


【图5】
    如图，地居夏至之南，目视丙月，则偏北。
    故太阴之实度在黄道南，为本道上之乙，与太阳之实度丁甚相远，
    却以南北视差，移而就近及，以甲乙为食限。
    二曜相掩，必未至甲也。
    若其过实交甲，至巳在黄道北，则因南北差，见月更在北，与太阳相距更远，不复能相掩矣。

    
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    太阴越五月能再食越七月不能再食
    以距月之中积交周度，与初月食限外之弧相比，如果度赢，则此食限内能起，彼食限内能止。
    即两皆有食；如果度缩，则一起一止，或在两食限以外，不再食矣。
    
    如5平月交周，得153度21分（已去全周），月食于高低中处，其实限11度30分，南北相同，
    得限外无食之弧157度，也是南北相同。这样都大于交周弧，则5平月中，不可得两食矣。

    也有可两食者，就是大月。
    太阳躔赤道南，在其最低左右，必速行。同时太阴去全周，在其最高，迟行。必得定朔策少，月大，
    交周弧亦大。那么5月之平朔策，去太阴全周，得145度32分。中分之，左右并得太阳均度4度38分。
    又太阴5月自行129度05分。中分之，以最大加减，得其并均度8度40分，太阳均度应加（实度距最低，
    左右比平度远，所以），太阴均度应减（设月逐日，还未追及，所以），得日月以实行相距总弧13度18分，
    为月逐日未及之弧。


【图7】
    如图，太阳从秋向春行本天小半周，以当黄道正半周，必速行。
    以甲乙直线中分其平行，左右各得丙丁均度。
    太阴在本轮，自戊过最高辛至巳，迟行。
    以甲辛平分其迟行弧，左右得壬辛及庚辛均度。
    日月两均度不同类，一加一减，并之，得13度18分，为太阳以实行在前，太阴以实行在后之弧，
    而太阴逐太阳行13度。


【图8】
    此时间，太阳再行1度06分，以并于太阳均度，总得5度44分。为5大月过5平月之度，亦为实交周过平交周之度。
    以加平交周153度21分，得159度05分，较食限外之弧，赢2度05分，则月食于甲乙限内为壬，距乙甚近。
    而限外交周度壬庚，越5月，复可食于庚。只是食之分数少矣。

    又证太阴越7月不能复食，则小月也。
    月大或平，即交周弧大于食限外之弧，不可得食。
    今太阳在其最高左右，迟行。太阴在其本轮最低左右，速行。因而成小月。
    那么7月之平朔策，得203度45分，同时太阴自行180度43分。


【图9】
    如图，甲乙分日月平行，甲辛分太阴自行。
    太阳左右各得最大均度丙丁，并为4度42分（实度距最高左右，比平度近，所以）。
    太阴均度壬辛及庚辛，并为9度48分，应加（设月以实行过太阳，所以）。
    一加一减，并两均数，得14度40分，为太阴过太阳之弧。
    此时间，太阳亦行1度10分，以加其均度，得5度55分，是为7小月间，实行不及平行之度。


【图10】
    又为7月间交周平行之弧所减，以成7小月实行之度。
    今以平行214度42分，去减5度55分，得208度47分，以加于食限外之弧（此第论太阴在其高低中处，
    甲丙左右4食限），为戊乙壬，或巳庚丁，仅得203度，小于7小月之实交周208度多。
    则月初食在戊丁限内，后7月，不能于巳壬限内再食也。    
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食分 第二

    欲知此月内有无交食，则以食限求之（见上文）。欲知此食食分几何，则以距度求之。
    所谓距度，在月食，就是太阴心与地景之心的实距。两心越相近，月食分越多。
    在日食，为日月两心以视度相距。其近其远，都以目视为准，不依实推。

    那么定朔是实交会，天下所同；而人见日食，东西南北各异。之所以如此，都是视度所为也。
    日食详说见后篇。这里先解说月食分。则论定望、实会，人所见者，东西九服各异，南北天下相同。如下。

    太阴食甚分数
    太阴在食限内过地景，其两心最相近时为食甚，而食分必多。
    欲知食甚之处，用距度求之，就是距度与地半景及月半径相减，得月入景之分（这里的分，是天周度数之分，并非
    平分月径之分。称分有二类，见下二文）。
    如两半径得1度，距度40分相减，余20分，为所求月入景之分。
    但距度与半景，或相等，或不等。
    如果过不及之分，小于月半径，则月不全入景，而只食其半，或大半，或少半而已。
    如果距度小于半景的部分等于太阴之正半径，则虽然全食，但是随后就生光，其食分，就是太阴的全径。
    以月自行推之，如果绝无距度，则太阴遇景正在两交，则加上其两半径，可推月食之分也。

    
【图1】
    假如甲乙为地景（定望时，月入此，则失光，也称为暗虚）之半径，乙丙为太阴半径。
    总得甲丙为月食限，限者乙点为二周相切之处。食从乙点起，渐入渐大。
    如果两周相分于乙点，则不食也。
    食有三等：一是不全食；二是全食；三是正食。
    所谓不全食，如图1，甲丁为黄道，丁辛当白道，月心在辛，入景一半，就是半食。


【图2】
    或者月心在庚，则如图2，入景大半，就是大半食。
    或者在戊，则入景少半，就是少半食。
    这些都是不全食也。

    求食分法，以距度减二径折半。
    如图，甲巳与甲丙相等，为二径折半。甲戊为距度。
    以甲戊减甲巳，余戊巳。
    戊巳与辛庚恒相等，故于二半径减距度，即得其入景辛庚，为此食之分也。


【图3】
    所谓全食，如图3，月心在戊，距度甲戊，两道如前。
    而距度入于半景的部分，为太阴半径戊巳。则巳庚入景之分为全径。
    但全入以后，太阴或向交行，欲至丁；或离交行，欲至辛，则周旋出景外，
    则无既内分矣。

    以上二者，皆有距度，则皆不食于交点，皆为偏食。


【图4】
    如果如图4，太阴食甚时，绝无距度，则月心与景心皆会于甲。
    甲乙为半景径，甲戊为半月径，两半径并为甲丙。
    设甲乙丙为黄道，甲丁为白道，太阴从丁行，以戊边至甲巳，全入于丁甲半景之内矣。
    又行至边到戊，就是食甚，所以再得甲戊为既内分，总得丁戊两半径，为此食之分，
    此月食之最大食于交点也，这就是正食。
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食甚前后时刻 第三

    食甚前，是初亏；食甚后，是复圆。
    两限之间之时刻多寡，其来源有三：
        1. 在太阴本时距度。因距度或多或寡，每食不同。也就是太阴入景深浅不同。
            浅则时刻必少，深则时刻必多。
        2. 在月及景两视半径。半径小，太阴过之所需时刻少；半径大，太阴过之所需时刻多。
        3. 在太阴自行。自行有时速，有时迟。虽然距度相同，视径相同，而自行迟疾不同，
            则所需时刻不同矣。
    推距度及视径，皆依前所设法。这里专求太阴实行，以定食时刻分。


【图1】
    月食起复行度
    太阴入景、初亏至食甚之弧，与其出景、自食甚至复圆之弧，两者略相等。
    故求其一倍之，得在景之总弧。
    如图，甲为景心，躔甲乙黄道。乙丙为白道。
    太阴心至丁未初亏，在丙为食甚，复圆在戊。
    
    丁戊是天周之弧，而所截弧极小，所以作直线用之。
    又甲乙丙是三角形，而乙角极小，乙丙与乙甲略等，所以作平行线用之。
    因而甲丙可为垂线，因为丁丙与丙戊也可为相等。

    现在从甲出两直线，为甲丁、为甲戊。皆当太阴地景之两半径，而甲丙为太阴距度。
    故甲丁戊三角形，以甲丁平方，减甲丙平方，得丙丁平方，其根为太阴初亏，
    至食甚，行过太阳之弧。

    如果不用开方，则有别法，以角求对边线。
    如甲丁线与丙直角，比甲丙线与甲丁丙角，即得丁角，余为丁甲丙角。
    则丙直角与甲丁线，比甲角与月行景之半线丙丁也。
    虽然食分不同，或半月入景，或全体在景，求初亏至食甚之弧，总是如此。

    然后求食既至食甚。也仿照此做，倍之，得太阴全入景至生光及复圆之总弧。


【图2】
    如图，甲乙为黄道，乙丙为白道。
    太阴心行至丁，则全入景；既至戊，即生光。
    得丙丁及丙戊略相等。故先得丙丁，倍之，即丁戊也。
    此则以甲丙为距度，甲丁为地半景，减月半径之余，于甲丙丁三角形，
    用此两线，及甲丙丁直角，推丙丁线，与前同法。


【图3】
    如果想精求之，不设甲乙、乙丙为平行，仍作两线斜交于乙，太阴初亏在丁，
    食甚在丙，复圆在戊。丙丁是太阴在景之半，为距交1/12。    
    即作丁庚线，与甲乙平行。取丙庚，也就是丙甲距度1/12，以减甲丙，得甲庚，
    是太阴初亏之距度。以加甲丙，得甲巳，是太阴复圆之距度。
    以甲丁甲庚两线，及庚直角，求得庚丁线。
    以庚丁、庚丙两线，及庚直角，求得丙丁线为初亏至食甚行度。
    然后以甲巳、甲戊两线，及巳直角，求得戊巳线；以戊巳、巳丙两线，及巳直角，
    求得丙戊线，为食甚至复圆行度也。

    食甚距度线与白道当为垂线
    求食甚时刻。
    设太阴食甚前行度与食甚后行度相等，即距度线必当为白道之垂线。
    如果不是这样，必然行度前后不相等，而时刻也不想等。


【图4】    
    如图，甲乙为白道，甲丙为黄道，太阴在丁。
    自庚黄极出线，过丁月，作庚丁弧，至戊黄道，指太阴实度在戊。
    因为太阴在丁，得交常分甲丁。
    而庚丁与庚乙，比甲丁与甲戊（皆用正弦算），得甲丁45度，与甲戊最差之限得6分
    （甲戊少于甲丁，在图为巳丁）。
    如果甲丁在食限内，其与甲戊差，又不及3分矣。
    因为两道之最大距，不过5度，所以也设甲丁弧得20度，而以甲乙与乙丙之比例推甲丁与丁戊，
    得丁戊距度1度42分。
    今作戊巳，与甲乙为垂线，又以甲丙与丙乙之比例，推甲戊与戊巳，也得戊巳相距1度42分。
    可见丁与巳见有差，戊巳与戊丁有微差，不足见也。

    今不用开方，而用戊巳，又以戊巳平分太阴入景与出景之弧，其不得有差，甚明矣。

    太阴食在景时刻
    前第二卷论月食，以食甚时为主。于食甚前之初亏，至食甚后之复圆，总推定时刻分秒。
    
    其法，以太阴在景中行度，变为时刻。
    如先得食甚前行度，求所当初亏至食甚时刻，倍之，得其余行度，也变时刻。
    皆依先所定行度，用比例法推算也。

    如崇祯5年壬申，3月望，太阴初亏至食甚，行40分16秒。
    欲变时刻，用三率法。
    太阴行33分11秒，得1小时。今40分16秒，应得1时12分43秒。
    但太阴自行，恒异平行。食时间，恒不居本轮之一处。故用1小时之行分，以定食间之时，
    不得用平行，必须考将食之实行，差太阴实行时表。
    法，恒以自行宫度，得1小时之实行，每度所值，各各不同。
    如太阴平行1时，得30分29秒，以本时自行求均度，或加或减于平行，得实行。
    若加减度表对自行初宫32分40秒，得均度2分46秒，以减30分29秒，得27分43秒，
    为表中相当引数初宫初度之率也。
    加减度表对自行1宫32分40秒，得均度2分25秒，以减1小时之平行，余28分04秒，
    为相当引数1宫及11宫之率也。
    其余皆仿照此做。
    自行在本轮最高左右，必减均度，得1时之实行；在最低左右，必加均度，得1时之实行。

    既以实行推定总时刻，则以食既至食甚至时，减先定食甚时刻分秒，得食既时刻分秒，
    以相加，得生光时刻分秒。又以减食甚前总时，得初亏。以相加，得复圆。
    又以初亏减复圆，得总食之时刻分秒。
    若初亏在子时前，复圆在子时后，即以丑初为13时（午正起算，用小时），丑正为14时，
    如此接续减之。
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    月食图
    西历恒推日月食所向方位，以其所亏及复圆距度作图。
    求距度，食甚前与食甚后为一法，以太阴自初亏至食甚之实行，加入太阳同时所行分秒，
    得太阴初亏至食甚在景之总分，以加前所定食甚交常度，得复圆交常度。以减得初亏交常度。
    然后求初亏距度，则全数与其交常度之比，等于黄白之大距度与其距度之比。
    求复圆距度也是仿照此做。

    假如崇祯5年壬申3月望，太阴初亏至食甚，景中行过太阳40分16秒，为时4刻12分43秒。
    同时太阳行2分57秒。以加前行，得43分13秒，为太阴在景之总行。
    其食甚交常度，为过中交8度35分58秒，以加太阴总行43分13秒，得复圆交常度10度19分11秒，
    其正弦17914，以减得初亏交常度7度52分45秒，其正弦13710。
    算得太阴初亏距度41分，复圆49分30秒。
    若用表，以时分查太阳本行，以交常度查太阴距度，更易得矣。


【图4】
    欲依本食作图，其外大圈之半径，为月半径地半景之和，得1度04分32秒（量用比例规，
    或先平分一直线）。
    内取食时所得地半景（此为46分35秒），作内圈，以当景。
    然后查距度，此食在南，初亏41分，复圆49分，
    得太阴初亏在乙，后在丁；食甚，亦依其距度在丙，为食之定分。
    图上下左右书四方，其起复所向方位，必与天地合也。
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FROM 111.9.5.*