- 主题:多说一句：勾股定理实际上是公理，几何方法是不可证的。
现存的各种对勾股定理的证明，不论是《算经》的图证，还是西方传说中的几何证明，都是不完备的伪证。
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从现代数学的理解，勾股定理实际上描述的就是sin（90度）=1。
这是一个描述体例，实际上是利用sin（90度）=1来定义了90度（直角）。所以这个实际上是公理，而不是定理。
【 在 thecommon 的大作中提到: 】
: 具体说说，你是不是把勾股定理的范围扩展了，不在平面几何的范围内进行讨论？
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按照你的意思，也只能说明第五公理与勾股定理等价，
并不证明勾股定理是可以推导的定理。
【 在 freesoul 的大作中提到: 】
: 只要承认第五公理，勾股定理就可证。本版上下嘴一张的人特别多
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赵爽的方法是切割拼图，但是切割拼图也没法证明拼图之间没有缝隙，所以只是说明，不算是严格证明。
实际上，超出平面几何之外，在球面几何里sin（90度）是可以大于1的。而在双曲平面几何里，sin（90度）则小于1。而我们现在看到的勾股定理，首先是一个观察实证的结果。
【 在 vontitan 的大作中提到: 】
: 看了一下直角定义，不是用sin定义的，是用直线相交临角相等定义的。用这个定义能用网上说的赵爽的方法
: 推导出勾股定理。
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作延长线、作平行线，这些都是平面几何证明的常用手段，这些方法都在平面几何可证的范围之内。
【 在 vontitan 的大作中提到: 】
: 平面几何定理有很多是作图弄出来的，不也是观察的结果？
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那么，我为了证明一个公理，只要把一个与之等价的公理设为公理，就可以把它降格为定理了。你是不是想表达这个意思？
【 在 molar 的大作中提到: 】
: 它本身是不是定理再说，但是你这句话不大对：
: 如果你认为“第五公理<=>勾股定理”的话，只要把第五公设认作公理，那么在这个公理体系内，认为“勾股定理是可以推导的定理”并没有啥问题。。。
: 因为“A<=>B”就是“A=>B且A<=B”，而只要“A=>B”且A是公理，那么说“B是可以推导的定理”就没啥问题。。。
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你这就扯到“学界的习惯用法”了。
对于第五公理这么晦涩的陈述，极大概率是西方某象牙塔学者们为了攻克证明毕达哥拉斯定理（勾股定理）的过程中琢磨出来的，必定后于勾股定理。
你承认哪个是公理，这不是学术问题，而是话语权问题。
【 在 molar 的大作中提到: 】
: 俺只是在说你那句话本身，在数理逻辑的层面上，是不对的。
: 至于下面这句话，只能说这个事儿“无所谓”。在科研上，最关键的是你真的能够找到这个“与之等价的”命题。只要找到了，随便把谁当公理，把谁当定理。当然，一般来说，学界会有一个习惯用法，但你如果一定要反过来也没关系，在书/文章里事先约定并保持一致即可。。。
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学过平面几何的人，眼界不一定永远被平面几何的知识束缚。不然，知识水平就永远停留在初中水平了。
【 在 lxku 的大作中提到: 】
: 你没上过初中，是吧? 或者说，你的初中不是在中国大陆上的。
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你说得对。
不过我发现，并提出了这个问题。
剩下的事，交给数学专业的人去完成。
【 在 zyf674 的大作中提到: 】
: 说句实话吧，可能比较伤人，你的____并不足以支持你讨论这类问题
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你都说是定义了。
定义，就是承认公理。
【 在 isaacova 的大作中提到: 】
: 勾股定理是正交系的定义，不仅仅是二位正交平面
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