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主题:总面积小于等于1/2的有限个正方形是否一定能被单位正方形覆盖?
楼主
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liushuoshu
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2021-12-22 17:37:34
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梦幻联动上题,证明或否定,总面积小于等于1/2的有限个正方形,是否一定能在经过合适的摆放后,被单位正方形完全覆盖?
# 摆放要求无重叠、无倾斜
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FROM 111.205.43.*
1楼
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littlestone9
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2021-12-28 15:17:55
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应该可以,绕着A1转圈放
【 在 liushuoshu 的大作中提到: 】
: 梦幻联动上题,证明或否定,总面积小于等于1/2的有限个正方形,是否一定能在经过合适的摆放后,被单位正方形完全覆盖?
: # 摆放要求无重叠、无倾斜
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FROM 117.107.131.*
2楼
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liushuoshu
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2021-12-28 17:48:34
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这A4是按照啥原则放的?
【 在 littlestone9 的大作中提到: 】
: 应该可以,绕着A1转圈放
: [upload=1][/upload]
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FROM 111.205.43.*
3楼
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littlestone9
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2021-12-28 20:18:06
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A4的下边到A1的距离是A2,放A2的时候就把总覆盖的正方形区域扩大了,从A1变成A1+A2为边长的一个覆盖区域,A3,A4都是沿着这个覆盖区域的边去放。
A3下面那块儿如果能放下A4(也就是A3+A4<=A1),那A4会继续在A3下面放,知道某个正方形放不下来,会开始像A4这样往左边放
到A5和A6那里也是一样,扩大了整体覆盖区域,这个摆法保证每一步放下的正方形面积和都是总体覆盖区域正方形面积的1/2之上。
【 在 liushuoshu 的大作中提到: 】
: 这A4是按照啥原则放的?
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FROM 111.192.96.*
4楼
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littlestone9
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2021-12-29 10:33:06
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主要思路是,从大到小摆放正方形(边长为A1,A2,...An),保证每次摆放一个新正方形后,已摆放正方形面积和S,不大于覆盖所需的正方形(边长为L)面积的一半,随着正方形摆放,L会逐渐扩大,记为L0,L1,L2...
初始时L0=A1,摆放A2时第一次扩大,变为L1=A1+A2,显然A1和A2的面积和大于等于L1面积的一半,此时注意到L1内部还有很大空间,至少还能摆放A3和A4,这些正方形面积可以积攒下来,为下一次L扩大提供支持。实际上不止是A2,每一次扩大后都可以增加的空间都可以摆放一些正方形,积攒下这些正方形的面积为下一次扩大做准备。
需要证明的就是,摆放一个新正方形An导致L扩大时,扩大的面积不大于之前积攒下来的正方形面积与An面积和的2倍。
【 在 liushuoshu 的大作中提到: 】
: 这A4是按照啥原则放的?
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FROM 117.107.131.*
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