参考方案
只需讨论所有正方形边长均<1的情形
将正方形从大到小排列,让它们的上边缘对齐到一条水平线上
依次取出若干个,直到它们的总水平长度≥1
如此得到了一个像有锯齿的梯形一样的图形,设最右侧的正方形边长为A1
那么如果用这个图形来覆盖单位正方形,由于总长度≥1,高度最窄处为A1,所以至少可以覆盖单位正方形高为A1的一截
依次继续选出第二组总长度≥1的正方形,同理设最右侧的正方形边长为A2
如此继续,直到剩余部分不足以构成总长度≥1的图形,这部分图形(如有)舍弃不用
下面来证明S{An}≥1,如此便可覆盖整个单位正方形
考虑第一组图形
它的总长度必然<1+A1,否则在A1前一个正方形就已满足总长度≥1
它的高度最宽处是第一个正方形的边长,根据假设,它<1
于是它的面积≤(1+A1)*1,或者说是1+A1
考虑第二组图形
同理它的总长度必然<1+A2
它的高度最宽处是第一个正方形的边长,这个边长≤上一组最后一个边长,也就是A1
于是它的面积≤(1+A2)*A1,或者说是A1+A1*A2,放缩一下,它更是<A1+A2
以此类推,最后一组有效图形的面积<An-1 + An
最后剩余舍弃的图形,面积<An * 1,也即An
将上面所有面积相加,可知
1+2S{An} > 所有正方形总面积 ≥ 3
于是S{An}>1,可覆盖单位正方形,证毕
【 在 liushuoshu 的大作中提到: 】
: rt,证明或否定,总面积大于3的有限个正方形一定能覆盖单位正方形
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