假定\(a,b\in\mathbb{R}\)。我们有
\begin{eqnarray*}
C_n&:=&\frac{1}{n}(A_1B_n+A_2B_{n-1}+\dots+A_nB_1)-ab\\
&=&\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(A_kB_{n+1-k}-ab)\\
&=&\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}[(A_k-a)(B_{n+1-k}-b)+a(B_{n+1-k}-b)+b(A_k-a)]\\
&=&\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}[(A_k-a)(B_{n+1-k}-b)+a(B_k-b)+b(A_k-a)].
\end{eqnarray*}
由于\(A_n,B_n\)收敛，所以有界。记\(K_A:=\sup_n|A_n|,K_B=\sup_n|B_n|\)，那么，
\begin{eqnarray*}
|C_n|&\le&\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}[|A_k-a|(K_B+|b|)+|a||B_k-b|+|b||A_k-a|]\\
&=&\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}[|A_k-a|(K_B+2|b|)+|a||B_k-b|].
\end{eqnarray*}
这时，\(\forall\epsilon>0\)，\(\exists N>0\)，使得对于\(m>N\)，总有
$$|A_m-a|<\frac{\epsilon}{3(K_B+2|b|)+1},$$
$$|B_m-b|<\frac{\epsilon}{3|a|+1}.$$
进一步取\(N'>N\)，使得当\(n>N'\)时，
$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N}[|A_k-a|(K_B+2|b|)+|a||B_k-b|]<\frac{\epsilon}{3}.$$
于是对于\(n>N'\)，
$$|C_n|<\frac{1}{n}\Big(\sum_{k=1}^{N}+\sum_{k=N+1}^{n}\Big)[|A_k-a|(K_B+2|b|)+|a||B_k-b|]<\Big(\frac{1}{3}+\frac{n-N}{3n}+\frac{n-N}{3n}\Big)\epsilon<\epsilon.$$

大家看看对不对。

【 在 zidane5 的大作中提到: 】
: 设limAn=a,limBn=b，求证lim（(A1Bn+A2Bn-1+...+AnB1)/n)=ab
--
修改:lavertu FROM 112.80.16.*
FROM 180.208.58.*

是。是我故意画蛇添足的。

【 在 zidane5 的大作中提到: 】
: 你这里B不收敛了
--
FROM 112.86.106.*