【 在 henhao 的大作中提到: 】
: 昨天看好长的，没时间看，今天有时间看了，结果就掉这么一点了
哈哈，我以为你们没人感兴趣的，现在继续更了
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FROM 163.204.84.*

当代最有几何洞察力的人是瑟斯顿，但他那一套解决拓扑结构的方案不能令人满意。拓扑结构目前是最有研究价值的数学方向，但拓扑的研究现状令人失望，完全没有突破黎曼和庞加莱的阴影。庞加莱本人完全清楚他主要拓扑构造技术的局限性。一般（点集）拓扑学纯粹是从概念上附和康托尔连续统结构而创制的，没有多大意思。微分拓扑与点集拓扑和微分几何联系太紧，体现不出拓扑的基本思想，只有代数拓扑是希望所在，但现状（基于同调和同伦计算技术）完全令人失望。拓扑结构和康托尔连续统间关联有很多不清楚的地方。
想要进入高端数学研究，必须学会鉴赏主要数学家方案的优劣（就如每个建筑师做自己的方案一样，会有不同效果），而不是全盘学习并完全陷入他们的方案，而是要随时设想自己的方案与其比较。因为数学文献是海量的，即使高斯、庞加莱再世，他们也无法看完。这时研究者只能凭其天赋直觉来挑选。如果一个方案没用或用处不大，马上抛弃，不要浪费时间去学习。现在没用或意义不大的数学内容太多。即使是数学大师，他们的一些东西也是用处不大的。有两种途径进入高端研究领域，在一个自己能深刻理解的数学基本构造基础上，寻找合适的现存顶级难题；其二是自己在思考数学基本构造的基础上，发现并合理提出新的顶级问题独自为自己拥有（在未决前不公布），正如庞加莱在为解决天体力学的n体问题时所为，庞加莱的拓扑遗产比黎曼要深刻多了，构造idea和技巧也多。
不是每个世界难题都有基础数学意义。费马大定理就是一个好题目，它见证并参与现代抽象代数结构（尤其环理想）和椭圆曲线模结构的全过程。而哥德巴赫猜想就不是一个令人满意的难题，四色问题也是如此。庞加莱球面猜想的重要性被高估，尽管有瑞奇流技术，但没有直接产生有效代数拓扑构造。一个难题的好坏在于研究它的过程中产生较大普适范围的基本构造。
拓扑不变量的观念太深地根植在数学中，已经成为一种负担。目前的拓扑不变量太粗糙，附加条件太多，稍精细的技术太难计算或实际不能计算。使用不同不变量，使同一个拓扑形与其他不同拓扑形的形成不同拓扑等价类，即两个拓扑形是否等价，取决于不变量技术的选取。
事实上，拓扑形之间有些等价性是相对的，条件变了，等价性也变，有些则很隐晦的。同时，与康托尔结构发生关系，显然造成拓扑结构的复杂性。维数有关键性作用，高维拓扑不能由低维拓扑直接而简单地推广，高维比低维深刻很多。
阿蒂亚和丘成桐说数学家看见了这些几何形或拓扑形，但就是没有办法。几何洞察力，首先就是看见形的静态或动态特征，尤其对复杂图形和高维图形的想象力（不要老想着几个简单图形，它们体现不出很多拓扑深入后的细节）,提取几何分解概念和结构，然后利用它们重新代数地构造所有拓扑形。
我并不认为当代这些名家真正看清了这些高维拓扑结构，如果看清了，必然在处理方式上有所反映。显然有一些重要概念没有得到完全理解。一些有效的拓扑分解概念和要素，被深深隐藏，需要强大的几何洞察力和数学全局观。需要突破的关卡和迷雾众多，而且像一个复杂的关系套，需要连续理解和挑战。同调和同伦技术不够深刻，不能全面反映所有拓扑形细节，它们不是一个理想的拓扑代数工具。拓扑基本计算构造应该不在目前所有代数基本构造范围内，需要新的代数计算工具。
数学的直觉往往是以具体而恰当的例子来转换的，恰当例子越多，通过直觉得到的构造被“证明”越“正确”。具体的例子比抽象的定理叙述更有说服力，更容易理解新构造。当你学习格洛腾迪克那样抽象的数学结构时，手头必须备有很多实例去对照。恰当地掌握了这些例子，也就恰当地掌握了数学。格洛腾迪克的抽象并非肤浅的抽象比如像非标准分析那种，而是基本结构为实例的深刻抽象。
中国人长于代数计算尤其数论，而短于几何分析，这是从古代流传下的传统，现在这种影响还是十分强大。陈邱二人在华人传统上进行了很大冲击，后来一些在国外的华人师从他们的道路。
看不惯国人对陈省身、丘成桐二人数学学术影响力和地位的过分拔高。他们二人对数学整体的理解，个人不完全赞同。尤其不喜欢丘（和威腾）对数学和物理关系的看法。牛顿把自己的旷世名著定为力学的数学原理而不是数学的物理原理绝不是毫无来由的。对物理和数学关系的看法，牛顿、庞加莱这些人才会有深刻体会。目前数学和物理关系正反映了现代数学缺陷，特别是量子领域与康托尔连续统和拓扑结构之间的密切关系。现代理论物理已经沦为数学游戏（一个真正的物理家应该理论和实验通吃），而丘的数学寄希望通过理论物理来解决，非常令人失望。物理只提供实例，数学的基本构造必须源于自身。
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FROM 163.204.84.*

7# 作者: 洛奇
回复 1# wcboy
" Quillen"同学前年就回国了啊 现在人在香港... 最近他又有一篇PAPER放ARXIV上去， 就是ICCM讲的那个。 不过当时他讲的时候文章还没修改好， 因此是之后放上去的，有兴趣的同学请多关注。 非常NICE的文啊~LZ打算入驻论坛吗?LZ是做什么方向的呢?

12# 作者:wcboy

To 洛奇:

随便在网上逛逛，看看网上的新奇数学言论，找一些感兴趣的论文和书。

弄些拓扑学的东西玩玩。

谈一下对课题选择的看法。
选择课题方式是很随意的。比如有的人一上来就选著名开放难题，有的是通过与合作伙伴（比如师生、同学或相头的人）交换看法后选题，有的按所学专题选题，有的早早选题，有的会在研究生阶段被动选题。有的是人找题，有的是题找人。有的是选别人的题，有的自己造题。
个人对选题的看法是，选题一定要符合自己的天赋类型，一定要是自己感兴趣的或者入题后感兴趣的，选题越早越好，最好是题找人。题找人是最自然的，往往说明这个课题非常适合自己的天赋和趣向。但是题找人是有一个过程的，不同人的时间不同，幸运的人很可能一下子在20岁以前才发现，晚的可能要在30岁以后。自己造题比别人出题意味着数学的独立性很高。
中学时认为代数或数论适合自己，是微积分学习改变了轨迹，花一年多时间看微积分，书看完，完全不明白它的核心结构的含义，只记得级数很有意思。顺着看实分析、泛函，越看越蒙，直到看到康托尔连续统、勒贝格测度和哥德尔不完全定理时，就完全明白了分析实质，同时对数学和学习有了自己的看法。数学体系不是完美的，严密度是有界限的，每个数学家都有自己的看法，我应该也有自己的看法，我应该了解主要数学家的看法而不仅仅课本的一家之言。了解大师的看法就是直接读他们的论文，看不懂，没关系，去翻书在回过来看。在这个过程中，发现大师的看法、层次、类型、视野和难度差异很大，有的喜欢有的不是自己一路的，觉得数学分支的划分是人为的，数学的进步是围绕问题解决的，对数学家及其方案要有自己的评价。任何数学抽象必须基于底层最基本的东西。
其实微积分最实用的核心就是无穷级数的计算，数学分析的基底就是康托尔连续统，只有计算级数收敛或发散速度时，只有看到康托尔集和门格海绵、希尔伯特空间这些构造时，才真的感受到连续统的存在和优美，但哥德尔让人看到它的缺陷，也让我感到不安。所以连续统构造一直在心中占据，这也让我对抽象数学有所反感，我花大量时间去看数理逻辑和晦涩非标准分析，了解希尔伯特的公理化，结果令人失望，没有任何实际意义的数学结果，是一些花架子，得出自己一条很深的教训，千万不要让哲学分析进入数学（很多民科（甚至某些数学研究者）以哲学和幼稚的方式解连续统问题和讨论选择公理（业余数学研究者和民科是有区别的，很多业余和本科非数学系的转行成为大师的不少），哲学经常通过逻辑夹带进入），逻辑虽重要，但数学的构造才是最基本的。用有意义的构造方式处理连续统才是正道。用实例处理抽象，以几何制约代数，显然我喜欢庞加莱而不是希尔伯特（希尔伯特空间除外）和格罗滕迪克。我并非认为抽象不重要，问题是什么样的抽象才是重要的，表示理论才让群深刻，不同维数空间中的正多面形（或胞腔形）自变换、循环群置换才是关键，矩阵是最复杂和深刻的计算构造（比如阵内的某些块对易很有意思，体现了局部交换性（比如阿蒂亚的k-理论）），很合适用来构造和计算等价类，可以自由操控方程。数论中的椭圆函数与模形式比较有实战意义。
分析与几何是天然浑成的，微分方程和微分几何的划分只是不同角度看问题，实际是一个东西。微分几何强调度量结构而微分方程强调参数与坐标。泛函最好的东西是希尔伯特和冯诺依曼的东西。至此深以为几何比代数更有意思，图形比数字有意思，尤其自由图形比规则图形更有意思。所以深深喜欢黎曼与庞加莱，尤其是庞加莱研究天体问题决心放弃经典几何方程进入代数拓扑领域时感到的开阔自由，因此去看拓扑的东西，越看越带劲。尽管或多或少地看了不少人的东西，诸如瑟斯顿、琼斯、米尔诺、莫尔斯、唐纳森和其他人的一些东西，感觉还是要从庞加莱的角度重新开始，其他人的视野不如庞加莱，可以感到庞加莱对自己的工具不如其他人那么乐观，而且别人对他的几个工具重视不一，比如他的同宿栅栏（或轨道）工具还未发酵太深(由它变出KAM)。拓扑的定性分析应该只是他的无奈之举，其意还是要找到一个更好的计算工具，但是他不能，他的本意应该是要彻底排除以微分方程研究拓扑（实际他已经做得很不错了）。拓扑学的现状是以庞加莱方法为源的诸侯割据。当然也有庞加莱之外的，但不深刻。个人以为这些混乱正是拓扑学不成熟的标志。

13# 作者: 洛奇
回复 12# wcboy
我倒觉得严密度不仅仅是因人而异 熟悉一个领域的人严密度往往差不太多 严密度个人感觉是和细节有关的 也就是说
"需要严密的地方严密,不能出错,不需要严密的地方可以随便写,犯点错也无所谓."

14# 作者: ni_o
回复 1# wcboy
楼主强调了数学天赋是搞深刻数学工作极为重要的东西，我不认为如此。首先，所谓天赋，或者说聪明是个很难界定的东西。其次，我想真正的聪明，应该象华罗庚先生理解的那样：聪明在于学习，天才在于积累。
我认为任何一个对于数学有着浓厚兴趣的人，瞄准一个重要课题，经过其长时间（如几年乃至十几年，数十年）的努力，只要一直不太脱离数学圈子，是很有可能做出伟大的数学工作的。的确，在他做出论证中关键的STEP或DETAIL的时候，要有真正原创的思想方法，但这些决不会是无中生有的。知识和技巧的积累，适当的时候总会以灵感的方式爆发出来，也许这就是所谓的天赋吧。总而言之，这一切的前提是勤奋，是决不会错的。
灵感确实是耐人寻味的东西。我的感触，灵感来了，将长久解决不了的问题做出来，接着竟有很长一段时间我自己也理解不了那奇特的思路。不过假以时日，最终对照前人的工作总会发现，当初那样想竟也是自然而然的了。我的意思用一句话来概括，天赋不是什么神秘的东西，唯勤勉和独立思考而已。Gauss当年说，任何一个人如果象他那样努力，也必会做出如他那样的成就。我认为他说的是实在的话，而不仅仅是谦虚的表白。
从楼主话中看到，你似乎对流形的拓扑学有些兴趣。我想Poincare猜想对于现代拓扑学的意义是重大的，并且它的地位并没有被拔高。看看它成就了好几位Fields就知道了。
Thurston的纲领是几何学历史上伟大的纲领，因为它的证明标志着人类理解了3-D流形的几何结构，尽管这种理解是Local意义下的。Poincare猜想的意义，不仅仅引发了几何学家对3-D流形几何结构的深层次思考，创立和证明了几何化假设，而且它是人类实现更大野心----彻底将3-D流形作微分同胚分类的敲门砖。我相信在本世纪剩下来的时间中，几何学家和拓扑学家，会将Thurston的纲领从Local版本升级到Global版本的。对于3-D流形的微分同胚分类，我倾向于认为它是一个算法可解的问题。所以让我们共同期待那激动人心的时刻吧。
微分几何学和几何拓扑学确实是一对微妙的存在哦，呵呵。
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FROM 163.204.84.*

22# 作者:wcboy

关于对权威的质疑：

数学巨匠和一流数学大师都属于数学领域的权威，他们的理论或流传百世或在当代有显著影响力，甚至某些准一流数学家也属于权威，某些水平低一些的数学家也有一些低一些的影响力。但是无论如何，事实上数学没有因为他们贡献而达到完美，数学仍然存在数不清的问题，一些问题还隐藏很深，只要你会以合适的方式问问题，数学仍会给你惊奇。况且他们的理论中某些还有不完善的，甚至某些论文中隐藏较深的错误或不合理细节经历很长时间后才被后人意识到。数学的每个进步都或多或少地需要新血液，这些新血液很多是由新人来完成。在完成一项重大贡献后，一个较小名气或甚至没有名气的数学天赋隐藏者从台后走出而成为一代大师或巨匠。从这个意义讲，在那些默默无闻的人群中，隐藏着未来的巨匠，因此我们必须反对神化现世的权威理论，要对他们的理论进行合理的质询和判定。
质疑精神不足会妨碍我们看问题的眼界，怎样对权威的合理质询呢？很多民科也反权威，但更多的是无知，他们中的大部分只是妄想那些原本不属于自己的名声而留名“青史”，这些完全不懂又不愿或根本没有能力去学现代数学的人如何有资格反权威？显然，如果一个数学人没有较深地对现代数学进行研究，他是没有资格和实力去质疑权威理论的。很多难以制服的公开问题经常显示权威理论的缺陷，只有你深入研究后才能看到这些缺陷，才能去想新方法去质疑它。
对大师的高山仰止是很容易和盲目的，质疑权威不是一件容易的事，但却是每一个有深度数学研究者必备的。无论是对大师甚至你的导师，你都必须对他们的理论作合理判断，在你的研究中，你应该把自己看成他们的对手而不是崇拜他们，尽管你这个对手目前还不是别人的对手，或许永远不是别人的对手。但是，历史的事实就是，这些研究者中必然走出一些超越他们的人，以前如此，以后也会如此，这就是做研究的动力之一。
从某种意义上说，做研究和质疑权威就是找缺陷和想办法去解决。一个有深度研究的无名之辈，其数学观点和层次完全可以高于这些权威，只是他们中很多还缺乏另外一种能力，找到合理构造对能力，如能突破此道障碍，那么他们中的某个也就超越了这些现世权威。


关于论文。
大师的某些论文总是存在缺陷或不合理的地方，甚至还有某些错误，但这丝毫不影响其价值，只是让发现它的人觉得不爽。这说明写论文不是一件容易的事，即使是一篇突破性论文，不能简单地用明白无误的证明才够发表这样一个标准来衡量。一个理由是，当论文太长和问题结构过于复杂时，创作者和审稿人都有能力上的限制，暂时还不能发现这些缺陷，甚至认为它们是对的，这种事情时常发生，比如在庞加莱身上，近一点的有怀尔斯的，佩尔曼的初稿也有缺陷。因此，一个复杂的证明，很难保证没有一点错误，对于作者，就算他已经完成研究和论文，仍然要放一段时间去沉淀，让没有注意到的问题晒出来，不要急于发表。对审稿者，也需要长时间去发现问题。即使论文被发表，并非就代表它完全没问题，很可能过很长时间后被某人发现，这样的事也是有的。但是能发表的大部分论文，应该是其价值是很明显的，即使有错误也不影响它的价值。如果追求完美，有很多极具价值的东西不能被发表，因为作者很有可能一生也不能完全解决甚至发现缺陷。因此读论文都要带合理的判断，并且要尽量读透你感兴趣的论文。
现在的论文发表体系肯定产生大量价值较小甚至垃圾论文，真正重要的论文只是极少数，里程碑或重大影响的论文很可能数年才会出现几篇。首先，我们应该容许这些低质量论文存在，它们维护了整个数学组织的正常运转，数学家们也要谋生计，同时，小问题的出现激发众多数学研究人员保持研究活力，有时它们是为大问题蓄势。尽管几率比较低，但某些低质量论文中也包含一种潜在解决大问题的思想，只是作者天赋不够，无力发展，如果有幸被高人发现，则可以派上用场。如果一个学术杂志专门登突破性论文，它就开不下去了。其次，作为有理想研究人员要知道，没必要过多读和过分重视论文，尽量挑感兴趣又重要的论文读，凭自己的积累和直觉从大量论文中发现它们，这不是件轻松的活。
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FROM 163.204.84.*

34# 作者:征罗天神
不敢苟同以上观点 不知道大家看过F 克莱因的数学在19世纪的发展不?
现在的大学的数学家的数学水平能超过超过牛顿和阿基米德,不敢苟同,只能说是知识上超过,但不是首创者.在了解同时代所有的数学之后,能超越同时代所有数学家的人才是世界上最有洞察力的人.流体力学的阿基米德原理如今被认为是常识,但世界上第一个洞察出这个道理的人,才是最牛人的.


37# 作者:wcboy

To34楼

难道你没有看出来本人正是表达和你一样的意思吗？这个问题，那个著名的Quillen网友就极力推崇当代牛人而看轻1900年以前的数学家，当时我就不同意他的这个观点，当然我从他的代数几何讨论方面获益非浅，还得感谢他让我早早意识到代数几何的精彩，你不走进去并在研究中应用，你就根本不能体会格洛腾迪克的博大精深远胜于他同时代之人和他思想的威力和缺陷。但是现在很多人过分抬高他，也是不健康。格洛腾迪克是注定的历史里程碑，现在更正我以前说的，个人认为他比希尔伯特强，但还是比不上黎曼，庞加莱和高斯。
牛顿时代到1900年，是数学史上第一黄金时代，比现在强很多，但是现在的难度非那时可比，现在难度大太多了。现在数学面临的大问题和现在数学家还未意识到潜在更大的问题，需要比庞加莱更强的超级数学天赋携带者出现才能解决，数学上丰碑都是以非凡思想和构造出现为震撼标识。上个世纪迎来了格洛腾迪克，这个世纪需要一个更强的，尤其是拓扑方面和硬分析方面。

38# 作者:wcboy

对于数学分支的个人看法。

对于一个比较全面的有发散思维的天赋强大的数学研究者，完全没有必要去理会数学分支这种无聊划分。但是对喜欢专门化的研究者，数学分支确实让他专注某个方面。对于后人的教育，数学分支的划分有利于培养机械化式的数学专才。每个数学分支的出现取决于形成分支的数学内容是否足够和结构是否稳定而成型。无论如何，是数学问题而不是数学分支决定研究者需要的知识和学习路线。一般设置的课程都是基本稳定下来后的数学结构常识，一般知识也比较旧，离最前沿的内容具有很大距离。在一般情形下，这些稳定的知识只能解决一般问题或体制内问题，对重大难题或新发现，只提供基本支持，不提供解决方案。因此一般人学了也无法用于解决重大问题或发现重大结构。非平凡的问题绝大多数是需要大的或小的新工具去解决的。所以幻想通过题海战术学习基础知识能解决大问题是不现实，因为在最前沿工作的数学家在基础知识上不比你差，为什么他们没法去解决大问题，那就是因为大问题需要新工具或修改调整旧工具，没有天赋你怎么做呢。所以那些不强调天赋而向外人推销数学研究的做法是非常害人的，严重时可以一辈子将一个人给毁了，本来可以在其他方面有出息，本来可以过正常生活的（我想除了数学，这世上还有其他美好的东西在等待你，比如家庭小孩的天伦之乐，为何一定要当民科呢）。如果你有职业搞一点小兴趣，应该问题不大，只有到你确定自己真有天赋或能力时并且基础足够时，才能正式迈入数学研究这个深渊。同时要知道，不是所有有天赋的研究者都能步入成功的前台，绝大部分人都牺牲在路上当炮灰了。

一个成功的数学家，他的常识数学不一定就比那些不成功的人强。数学常规基本功强与数学成就不存在必然联系。一旦提取特别分支，那么就必然涉及分支在整个数学的重要性问题，显然不是所有分支都一样重要。有些分支即使停下来了，但依然重要，有些最新的不一定重要。甚至有些分支虽然逻辑正确，但过于平凡而意义不大。比如微积分技术就是最重要的实用分支，矩阵及群计算是第二，数论在实用性上就差很多。有人认为数学不需要实用，个人不同意这个观点。个人认为实用是数学的生命活力，所有看似纯粹的且高度抽象的数学部分是作为数学这个整体的一分子为认识物理世界服务的，虽然不直接出力。

对大数学家而已，分支不是大问题。真正的差异是他们感兴趣的课题和想问题的风格。你是代数式思考方式还是几何式思考方式，当然少数数学家两个方面都强，比如高斯，但是总有一个为主的，高斯喜爱代数超过几何。黎曼和庞加莱是典型的几何思维，比如黎曼猜想就反映了他强大的几何直觉，庞加莱就更不用说了。伽罗瓦，阿贝尔和格罗滕迪克是典型的代数思维。
判断一个数学家的思维方式，看他喜不喜欢在他论述中画图或叙述一个具体图形就可以判定了。


41# 作者: Lavita

不觉得Newton很牛的飘过。 个人感觉现在很多数学家比Newton强，不只是知识上。
其实Newton没有给（纯）数学增加多少东西。 他知道的基本上Fermat都知道了，而在Euler之后微积分才真正诞生，然后还有个Leibniz和他分荣耀。

42# 作者:wcboy

物理，几何和代数

搞数论的研究者是数学中的另类，他们中太多以数学至纯而倨傲（或孤芳自赏），很看不起源于应用的数学，认为自己的数学内容是最深刻、最难和最神圣的数学，同时数论或代数中大人物远多于几何，并且神童总与数挂上钩，中文中的数学可看作数之学，在中国数论的势力最强大。高斯（Gauss）、欧拉（Euler）、拉马努金（Ramanujan）等很多神童都是从数论开始的，他们使数感成为神话传说。实际上数与形是同时出现的。为什么会知道自然数？因为要为具体的物体（离散几何形）计数而已，负数不过方向相反（也是几何形的要素），其他数的都是运算封闭的要求，它们都有几何意义，尤其实数与线的对应。向量数组不过是高维几何空间的对应。因此，数或扩张数不比图形处于更优越地位，事实上它们的出现都不过是人们处理图形和空间对需要。
所有运算都是方程，由于简单的运算大多数人一眼就看出了，就不认为它们是方程了，在人们眼里只有处理不能直接看出来的一大堆数或数组的集合才是明显的方程。本质上，数的分解都是（不定的或定的）方程。是方程就有几何出现，只是这些几何太平凡了，数论研究者不考虑罢了。随着后来难度的增大，数论一方面关注整体性质而上升到抽象代数，另一方面向微积分技术求救，微积分本质上就是几何，现在更甚，向拓扑深入。现在最深的椭圆曲线与模形式、高维Shimura variety都有强烈的几何拓扑内容，算术几何并非新东西，只不过之前没多少人乐意去正式提出。抽象代数更是与几何联系紧密，其核心群就是几何变换而已。
任何代数内容都有相应的几何解释，如果一个代数结构找不到有非平凡意义的几何解释和应用，那么它们就会被非议而不会被承认，所以没有几何考虑，就不能随意制造代数结构。代数只是处理几何的工具。
几何充满宇宙和物体变化，它与物理紧密相连，不可分离。有很多人认为物理是应用科学或几何应用典范。物理的理论不能简单归于应用，随着物理发展，物理逐渐几何化，几何开始能解释它对基本概念、idea和构造，相对论中黎曼几何和量子力学中的希尔伯特空间和群和拓扑，现在超弦更是几何主导。实在觉得物理与几何不是应用关系那么简单，只是现在的几何内容还不能将所有物理概念纳入自己的解释，否则几何完全从脚到头完全主宰物理。
在物理，几何，代数的关系中，几何处于中心，代数是几何需要的工具，而物理的工具是几何。牛顿、拉格朗日、庞加莱和威腾用双重大师身份一直在强化这条线

计算机，数学

一些著名数学家对计算机的数学证明或计算持非常忧虑的态度，比如阿蒂亚(Atiyah)。四色问题、球装问题（sphere packing or Kepler conjecture,又称开普勒猜想）、有限单群计算、大素数的寻找和分形几何都是数学利用计算机的典型代表，它们全部或部分使用计算机完成证明或计算或画图。如果不用计算机，分形几何是不能被发现的。
实际上，当涉及大量数据和大数计算时，不使用计算机是不可能的，人无法在有限生命中完成这些计算和重复检验。这就涉及一个人对计算机计算可靠性信任问题。在工程计算中，工程师们绝对信任计算机就像信任自己一样，没有心理障碍。但数学家不一样，很多持怀疑态度。这是有理由的，比如Hales的sphere packing论文发表后，发现不少失误而后修改补充。
就个人观点而言，接受计算机不不接受要好。大量工程实践表明计算机计算是值得信任的。就算一种计算机环境（硬件和软件）不行，还可以通过其他计算机环境进行重新计算，如果多种环境全部一致，那么计算结果就应该被信任。实际上让人担心的是数学家的数学本身的计算构造模型和为之设计的计算机程序模型两者是否同时逻辑无误。如果是，证明和计算结果就应该被信任。如果真的日后通过其他计算机或非计算机途径发现错误（尽管几率极低），那也没关系，让人意识到计算机环境的缺陷而改它，更利于后来者。
多变量高维数复杂图形的数学结构的大数据计算和画图必须使用计算机辅助完成，这是日后数学趋势，很多极难得硬计算的数学证明脱离不了机算。计算机已经为数学家揭开了很多数学家看不到的东西，我们必须要为计算机证明和计算保留位置。


46# 作者: 洛奇
我倒比较赞同QUILLEN兄的看法。 我觉得20世纪以前甚至很难称得上数学的萌芽阶段 ，那个阶段太幼稚了， 就好象我们现代人看刀耕火种一样， 当然你也可以说第一个发现火和石刀的是很厉害的科学家。
代数几何这门学科， 它真正的萌芽我觉得应该从法国学派开始算起， 也就是1950年之后 而80年代之后才算进入成长期， 因此代数几何的难度是经历了两次数量级的飞跃 。50年之前的我们可以不需要去念了， 而80年之后难度又大幅上升， 因此通常学代数几何的是从80年代前后的文章开始的。
其他学科不清楚 ，不做评论了 。


49# 作者:wcboy

to洛奇

后人看前人，都觉得前人的东西容易，我们的后人也会这样看我们，确实后人在大多数情况下是这样的，基于知识的积累，后人一般比前人牛，这道理谁都懂。但牛不等于这些牛人的功绩彪炳历史，在历史上比前人有更高的地位，难道你能说庞加莱、黎曼、高斯等很多历史成就就比现在的大多数牛人差吗？就个人观点而言，现在没有一个人能在历史成就上比得上这三人，格洛腾迪克也不能。
评价历史我们后人更容易客观看待我们和前人的功绩的历史价值，其结果是后人一定会把我们对当代人的自吹自擂的吹水成分大大压缩，其结果是现在没几牛人能上历史排行榜。所以最牛的人不等于历史排行榜。以历史的眼光看人和成就更客观，但是当代人根本很难客观，都想把自己吹上历史的排行榜，以让后人记住自己，但是后人不是傻子，后人有自己的判断标准，当代人不可能替后人定标准。
代数几何萌芽从意大利学派算起比较合适，法国Bourbaki学派是它辉煌的开始，格洛腾迪克使它达到目前的顶峰。代数几何不能说不抽象到目前的极端，数学人也因此把它抬高到极端。algebraic varieties，sheafs，schemes，algebraic spaces, algebraic stacks，topos，sites，motif （or motives），higher category，higher K-theory， Grothendieck–Riemann–Roch theorem，intersection theory以及涉及Weil conjectures，Hodge conjecture和 motives到Galois theory的长征。这些东西实在抽象炫目得很。


抽象与具体
一般人都认为抽象比具体有价值得多，所以不断忙于抽象再抽象，把别人的东西抽象推广到自己的特例，自己就比别人贡献更大。这是很好笑的。不少抽象显得非常稀疏化和平凡化。
什么是表示理论？如果只是一些假大空的抽象，这些抽象的东西只能用来说话，没有计算技术来表达，就没有太多的深刻技术含量，只有能用有效计算技术来定义或分类或区别一个或一堆数学对象从其他不同的想要区分的数学对象时，这种抽象才深刻，所以表示理论是抽象数学要达到的目标，现在无论代数几何和抽象拓扑都差得远。表示理论是很难的，一般抽象至多是框架，框架易搭建，但建筑施工困难。所以俄罗斯学派的表示理论观点是非常重要的，是务实不务虚的。
表示论就是从抽象再到具体的过程，用具体的计算工具去处理抽象。
一般的具体就比抽象不值钱吗？实际上，抽象时也排除了很多具体对象，让它们处于例外情形。某些情形下，我们处理一个具体对象，最后会得到一个更大的数学内容和抽象（比如费马最后定理导致一连串的抽象进展），按这些抽象家的说法，把他们给抽象进去了，他们的抽象理论成了special case。所以不要看不起具体数学。


格罗滕迪克和庞加莱
格罗腾迪克的存在，使得20世纪的数学中代数或抽象代数对几何或拓扑处于绝对优势地位，格氏本人也成了数学史最顶级的抽象巨匠。正如牛顿至庞加莱时期，几何处于中心地位一样。难道庞加莱的抽象能力比格罗滕迪克差很远？也许应该这样问比较公平，庞加莱是否喜欢抽象方式？
显然，庞加莱的抽象能力并不差，否则他能搞出那么多深刻的拓扑技术和微分方程技术，而且他也早早意识到了高维几何问题，否则他怎么去搞n体问题的微分方程和提出那个有名猜想，他也大量使用群。但是他显然更关注几何的硬的可计算技术和应用，不喜欢假大空，他有很强的计算能力和计算构造能力（格洛滕迪克这方面就不如他），不太喜欢很死板的规范证明，好像对数论也不关心，且极度关心物理，其理论物理及计算物理能力之强就算很多纯物理大师都不如他。几何想象力和物理应用，格罗腾迪克在庞加莱面前就显得很弱了。代数几何的主心骨上同调技术还主要源于庞加莱（庞加莱同调对偶）。
格罗腾迪克的拓扑太弱了，在这点上威腾比他强很多，威滕的视野很深邃，个人认为虽然图形想象力比瑟斯顿差，但拓扑构造洞察力是目前自庞加莱后最好的，虽然达不到庞加莱的高度。威腾的洞察力主要来自他对物理的强悍理解（目前最好的弦论家）。可惜威滕已经过了他的黄金时期，不会有太大的东西出来了。
代数几何还不能还盖全部数学内容，其中几何拓扑部分差很远，在庞加莱眼里，homotopy是比homology更有效和更难的计算工具。现在higher-K homotopy还是不行的，庞加莱也知道homotopy也不是拓扑终极fine工具。格罗腾迪克的全面性和深刻性不能与庞加莱比。
一个强的研究者，应该可以从简单中看到复杂，从复杂中看到简单，从具体走向抽象，从抽象在回到具体。如果一个数学研究者没有较强的计算能力，一般来讲，是不完美的。如果一个数学研究者只会傻算而不懂数学构造优先，那不会有大出息。如果一个构造不合理，算出来了也达不到要求。要算，但要先搞清楚为什么要算。


51# 作者: Lavita

回复 49# wcboy
个人感觉，Poincare认为同伦不是最终工具是很正常的，就像他当初创造同调的时候不会想到同调和上同调能有这么多的应用一样。 个人感觉像sheaf cohomology和同调代数的创造者们之类的人在同调上比Poincare更有发言权。（注意我没说他们对同调的贡献和影响比Poincare大） 况且Grothendieck好像也没说过homotopy是拓扑的最终工具。 关于拓扑的话，Poincare当然是无人能及的，但是我感觉Grothendieck好像志不在此（我不是那个时代的人，对Grothendieck了解的不多，如有错误请指出 谢谢=）
Grothendieck和Poincare应该是完全不同的数学家吧，不好比较。Poincare的天赋应该是远胜Grothendieck的，但其他方面诸如深度未必比Grothendieck强（个人感觉Poincare在拓扑上除了是开山鼻祖之外深度并不算非常高；就同调群而言，好像第一个提出群比单纯的数值不变量重要的人也是Noether而不是Poincare。当然我也不是那个时代的人，对Poincare究竟对同调的未来有怎样的洞见也不太了解，如有错误请指出，谢谢） 当然对数学的影响Poincare也要大些。
回复 46# 洛奇
我个人感觉，现在的人认为那个时代的数学简单，是因为那个时代很多东西都只是才开始而已，并非后面的wcboy说的“后人看前人的东西都会觉得简单”（尽管这确实是实话）
一门学科的萌芽阶段和成熟阶段的深度没法比，这也是正常的，不能太苛求于前人了
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