看到有些书上对光滑曲线的定义是这样子：
x=x(t)，y=y(t)，t∈[a,b]，
若在 [a, b] 上 x'(t)，y'(t) 都存在且连续，且 x'(t)，y'(t) 不同时为零，
则称曲线 x=x(t)，y=y(t), t∈[a, b] 为光滑曲线。
想问一下，这里 x'(t), y'(t) 不同时为零应该只限制在 (a, b)内吧，不应该包括端点吧？
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FROM 222.77.83.*

平面上的光滑曲线呀，怪我没写清楚，
x=x(t), y=y(t)是参数方程，例如
x=cos t,  y=sin t
表示圆
【 在 vinbo 的大作中提到: 】
: 这啥啊，光滑曲线定义为啥非要扯出两条曲线来？
: 而且x=0不算光滑曲线了？
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那么比如说摆线的两拱：
x=t-sin t
y=1-cos t  
t∈[0,4π]
是分段光滑曲线吗？
如果是，是否为两条光滑曲线连接而成？
如果是，其中的一条光滑曲线是什么？这条光滑曲线有端点吗？
如果有端点，这个端点不光滑，那它还是光滑曲线吗？

【 在 vinbo 的大作中提到: 】
: 摆线端点处当然不光滑，多看一个周期就知道了，难道你认为那里光滑？
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好，你说的网址我看能不能登上

【 在 vinbo 的大作中提到: 】
: 没有特别关注过这个点，所以也没有对应的权威教材。
: 事实上，我甚至认为不同的作者在这里下了不同的定义都是可以接受的，一个点而已，只要自己逻辑自洽就好。当然想较真一下的话，你先看看wiki，google有没有，懒得搜了
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又想了一下，有些见解。前贴中提到的两条不同长度的摆线，在正则性上（还是称为正则的好）还是有不同的。
把 t 看作时间，想象随着 t 的增加，一个人按 z(t) 在曲线上运动。对于第一条曲线，每个时刻这个人都知道它的方向，包括结束的时刻。而对于第二条曲线，这个人在初始时刻与结束时刻是茫然的，这两个时刻他是“迷向”的。因此，从正则性角度上看，两条曲线应该不同。因此，把第一条曲线看作正则的，而第二条曲线不是。
这里就要说到“分段正则”这个定义，在Ahlfors书上，定义为曲线上只有有限多个非正则点，这个定义是严格的。然而在中文书上，很多把“分段正则”定义为有限条正则曲线连接而成的曲线，这个定义是有漏洞的，也是我困惑的来源。按Ahlfors书上定义，摆线的两拱是分段正则的（z'(t)仅在t=0, 2π，4π处为 0），如果看作是有限条正则曲线连接成的话，那么是两条，也就是把每一拱都看作正则曲线，但每一拱的端点又不正则，这便出问题了。因而分段正则不应该定义为有限条正则曲线连接而成。事实上，piecewise这个单词，wise这个后缀，有“像……一样”的意思，只是像是一段段正则曲线连接而成而已，并不是事实上就是这样。

【 在 hyk84 的大作中提到: 】
: 谢谢，但我看了许久，最后一句话的意思还是不太明白。
: 我目前困惑的是这两个问题：
: （1）摆线的一段
: ...................
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修改:hyk84 FROM 222.77.83.*
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