- 主题:请教个无限群的问题
一个无限群G有一个子群H，是否一定存在G的一些元素构成的子集S，使得{gH: g\in S}不重复的遍历左陪集，同时{Hg: g\in S}不重复的遍历右陪集？
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修改:gtgtjing FROM 123.113.80.*
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你这个a，b是存在还是任意？
你的这个结论和我说的猜测有什么联系呢？
【 在 philbloo 的大作中提到: 】
: False.
:
: We claim that H must be normal if aH != bH suggests Ha != Hb.
: ...................
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我又没要求左陪集等于右陪集
【 在 philbloo 的大作中提到: 】
: 题目的条件就是 H 的 left coset 和 right coset 是 1-2-1 mapping 啊。这道题换个说法就是，是否对任何 H ，其左右 coset 一一对应啊。
:
: 你的这个结论和我说的猜测有什么联系呢？
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这句就是错的
a!=b iff aH!=bH
原文这个性质在G有限时肯定是对的，组合数学hall定理的一个简单应用，我就是没想好放到无限群时能不能说清
所以如果猜测错误要推翻它，一定要用到无限群这个性质
【 在 philbloo 的大作中提到: 】
: 我再试试看。
:
: Let a,b in {g1,g2,...gn}. Since cosets partitions G, we have a!=b iff aH!=bH, and a!=b iff Ha!=Hb. Hence Ha!=Hb iff aH!=bH ... (1)
: ...................
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修改:gtgtjing FROM 123.113.80.*
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哦，我当时以为a和b是群G中任意两个元素，那第一段没错
这样的话，第二段中你只是证明了当H不正规时，g和gh不能都属于{g1，g2……}这个集合。并没证明或者推翻原题
但你证明的这个，是个显然的命题，这样的一组gi如果存在，必然是恰好不重复的遍布所有左陪集，同时也不重复的遍布所有右陪集
【 在 philbloo 的大作中提到: 】
: 请教一下为什么这句是错的？
:
: >>存在G的一系列元素g1，g2，……，使得g1H，g2H……互不相等，并且恰好是H在G中的所有左陪集
: ...................
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修改:gtgtjing FROM 123.113.80.*
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没要求啊，就是想知道结果，不过这么一说我这个问题确实问的不好
代表元不应该用可数形式来写，我改一下原文
【 在 hakensen 的大作中提到: 】
: 这个无限群有拓扑结构么，如果子群相对于无限群的陪集是有限的那结论是一定的，否则得给出群的拓扑结构吧？我猜想：如果陪集是拓扑闭或者紧的（或者无限群本身是闭群或者紧群？）的那结论也一定成立，前提是子群必须是闭子群
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陪集个数可数的时候，用hall定理似乎也可以说清楚
【 在 Adiascem 的大作中提到: 】
: {gH: g\in S}一一遍历左陪集，同时{Hg: g\in S}一一遍历右陪集。
: 这道题不会。好难啊。
:
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