问：复数域内，0的0次方定义为1吗？
复平面内，是否存在一个趋近于0的点列x_n，其平方不趋近于1？
我的思路是：(1)平方的模趋近于1，但虚部不趋近于0。(2)逼近的轨迹不是直线，甚至可以是螺旋。但是我没构造出例子。
请高手看看，感谢！
（我已经问过chatGPT了，答得一塌糊涂。）
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FROM 106.120.85.*

我想你问的是不是 z^z 当 z 趋于 0 时极限是否为 1.
z^z = e^{z Ln z},  那么就看 z Ln z 是否趋于 0.
假定取主值，
ln z = ln |z| + i arg z,  
则
|z ln z| = |z| * sqrt{ln^2 |z|+ (arg z)^2}
此时 arg z 是有界的，上式趋于 0，从而 z ln z 趋于 0.

但如果 Ln z 不限于某一分支，Arg z 可以是无界的，那像你说的，当点 z 绕原点快速旋转，远快于它的模趋于 0 的速度时， z Ln z 确实可以不趋于 0.
这是我的理解。

【 在 operater 的大作中提到: 】
: 问：复数域内，0的0次方定义为1吗？
: 复平面内，是否存在一个趋近于0的点列x_n，其平方不趋近于1？
: 我的思路是：(1)平方的模趋近于1，但虚部不趋近于0。(2)逼近的轨迹不是直线，甚至可以是螺旋。但是我没构造出例子。
: ...................
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修改:hyk84 FROM 39.144.249.*
FROM 39.144.249.*

重新考虑了一下，可以这样构造：
设 z=x+iy,
则 ln z = ln|z| + i arg(z) = 1/2 * ln{x^2+y^2} + i arg(z)
从而
Re(z ln z) = 1/2 * x * ln{x^2+y^2} - y * arg(z).
由于
|z^z| = |e^{z ln z}| = e^Re(z ln z)  (这里对乘幂 z^z 只考虑一个分支)
只需考虑 Re(z ln z) 当 z→0 时是否趋于 0.
取 y = e^{-1/x}，则当 x→0+ 时 y→0，此时
Re(z ln z) = 1/2 * x * ln{x^2 + e^{-2/x}} - y * arg(z)，
显然后面一项趋于0，对前一项，它的模大于
1/2 * | x * （-2/x）| = 1,
从而当 x→0 时，Re(z ln z) ≤ -1


【 在 kirbyzhou 的大作中提到: 】
: 能否构造一个实例呢？
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修改:hyk84 FROM 218.207.199.*
FROM 218.207.199.*