我惊讶的是网上的说法居然不一样。

比较基数用对角线法，Contor的经典证明。当然需要先熟悉一下势的双射定义，以及可数无穷多的基本性质。

一般是先熟悉证明有理数和自然数等势、进而所有可数无穷集都等势这种重要结论，然后用对角线法证明区间内实数不可数，再推论无理数不可数。
粗略的对角线法可以用0,1区间内无穷小数来直观说明。反设实数可数，将其无穷小数形式一行一个排成一列，取新数使得其第k位小数与数列中第k位不同，则该数与数列中所有数都不同，矛盾。（这个证明不是太严格，因为实数的无穷小数表示不唯一，需要额外做点技术处理。但核心思路就这样。）

除了基数还可以比较测度。有理数点是零测集，直观讲就是总长度为零，或者说取到有理数的概率为零。从这个角度看有理数不仅少，而且少得可怜。测度的主要概念是需要可列可加性，理解会更抽象些。
【 在 isk 的大作中提到: 】
: 网上的说法各不一样。。。
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基数意义下有理数和自然数一样多（一一对应）。但自然数是有理数的真子集。
【 在 lytong 的大作中提到: 】
: 对于任意一个有理数x，总可以找到一个无理数x+π和其一一对应。然后还剩下别的无理数，比如e，根号2。。。
: 这样可以证明无理数多吗？
: 【 在 isk 的大作中提到: 】
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