**问题陈述：**

给定一个正整数 \( n \geq 3 \)，考虑由 \( 1 \) 到 \( n \) 的一个排列 \( \pi = (a_1, a_2, \dots, a_n) \)。对于每个 \( i \)（\( 1 \leq i \leq n-1 \)），定义 \( d_i \) 为 \( a_i \) 与所有其后元素 \( a_j \)（\( j > i \)）的差的绝对值的最小值，即：
\[ d_i = \min \{ |a_i - a_j| \mid j > i \}. \]

记 \( S_n \) 为所有排列中 \( d_i \) 的和的最大值，即：
\[ S_n = \max \{ d_1 + d_2 + \dots + d_{n-1} \}. \]

**我的发现：**

我提出一种构造排列的方法，可以使得 \( d_i \) 的和达到 \( S_n \)。具体步骤如下：
1. 将 \( a_{n-1} = 1 \)，\( a_n = n \)。
2. 对于每个 \( i \)（从 \( n-2 \) 递减到 \( 1 \)）：
   - 将 \( a_{i+1}, a_{i+2}, \dots, a_n \) 按从小到大排序。
   - 计算相邻元素的差，找到最大的间隔。
   - 取最大间隔的中间值作为 \( a_i \)（如果中间值有两个，随便取一个都可以）。
3. 重复上述步骤直到 \( a_1 \) 被确定。

**已知结论：**
1. 可以证明 \( 1 \) 和 \( n \) 必须位于排列的最后两位。否则，将 \( 1 \) 或 \( n \) 向后移动一位，\( d_i \) 的和不会减小。
2. 上述方法在每一步都试图最大化当前 \( d_i \)，但无法直接推出整体最优性。

**求助问题：**
如何证明这种方法构造的排列确实能使得 \( d_i \) 的和达到最大值 \( S_n \)？或者是否有其他方法可以证明 \( S_n \) 的最大性？

**附加说明：**
- 我已经验证了对于小的 \( n \)（如 \( n=3,4,5,...,12 \)），这种方法确实能得到最优解。
- 我尝试用归纳法或贪心算法的思想，但未能完成严格的证明。

希望得到大家的建议或证明思路，谢谢！
--
FROM 60.191.227.*

其实也没有那么难吧
比如 $n=5$ 吧,

(1) 要使得$d_i$的和最大，考虑到$d_5$恒为0，当$\pi=(a_1,a_2,a_3,1,5)$ 时, 显然 $d_4$有最大值4.

(2) 在$d_4$取得最大值的前提之下, 当 $\pi=(a_1,a_2,3,1,5)$时, 显然 $d_3$有最大值2.

(3) 在以上的条件之下，不管怎么安排$a_1,a_2$, 都有$d_1=d_2=1$.

(4) 所以我们找到了一个较大的排列 $(2,4,3,1,5)$使得$d_i$的和为8, 经过试验这就是最大值之一.

我找不到好的方法证明这种方法找到的都是最大值。



【 在 bellbird 的大作中提到: 】
: 额，现在高中数学题这么难了么
--
FROM 60.191.227.*

？
--
FROM 1.119.147.*

a就是倒数第三个数吧
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 事实上，
: S(n)=max{S(a)+S(n+1-a)+a-1 }  1<=a<=[(n+1)/2]
: 还需证明a=[(n+1)/2]时可取得最大值。
: ...................
--
FROM 123.113.80.*

是的。证明还缺一步。
【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】
: a就是倒数第三个数吧  
: --

发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
--
FROM 124.79.233.1