不用分割的方法：标记中间交点为O，东北西南向直线为AB。
记v是OA方向的单位向量，v=OA/|OA|=BO/|BO|。用 . 表示向量内积。

先求线段AO在水平方向的变化率

d|AO|/dx = 2(A'-O').(A-O)/2|AO| = (A'-O') . v

同样的 d|OB|/dx = (O'-B') . v，相减得到

d(|AO|-|OB|)/dx = (A'+B'-2O') . v。然后由对称性(A'+B') . v = 0，从而

d(|AO|-|OB|)/dx = -2O' . v

同样可以得到西北东南方向的同样的等式。令w是OC方向的单位向量，有

d(|CO|-|OD|)/dx = -2O' . w

相加得到（令n=(0, 1)是y方向的单位向量，则v+w=\sqrt{2}n）

d(|AO|+|CO|-|OB|-|OD|)/dx = -2O’ . (v+w) = -2O’ . \sqrt{2} n = 0.

最后一个等号是因为n是正北方向的向量，跟水平向量O’=dO/dx垂直。上面这个式子是说
|AO|+|CO|-|OB|-|OD|是水平平移的不变量，而显然O水平平移时，|OH|-|GO|也不变。
所以若令

L=(|AO|+|CO|-|OB|-|OD|)/sqrt{2} + (|OH|-|GO|)

它是水平平移不变量：dL/dx = 0.

类似的计算表明

dL/dy = -2 dO/dy . (v+w)/sqrt{2}  + 2 dO/dy . n = 0.

这说明L在全定义域是常数，而当O在对称中心时，显然L=0，从而L恒为0.
类似的（或由旋转对称）可以得到

K=(|CO|+|BO|-|OD|-|OA|)/sqrt{2} + (|OF|-|EO|) = 0.

剩下只需要注意面积的变化率跟边有关：

dS1 =  (|AO|/sqrt{2} - |GO|) dx.
dS3 =  (|CO|/sqrt{2}) dx.
dS5 =  (|OH-|OB|/sqrt{2}) dx.
dS7 =  -(|OD|/sqrt{2}) dx.

令S=S1+S3+S5+S7，加起来就得到

dS/dx = (|AO|+|CO|-|OB|-|OD|)/sqrt{2} + (|OH|-|GO|) = L = 0.
dS/dy = (-|AO|+|CO|+|OB|-|OD|)/sqrt{2} + (|OF|-|EO) = K = 0.

也就是说，S也是全定义域的常数。

【 在 gtgtjing (生在苦中不知苦) 的大作中提到: 】
: 割补太麻烦了，积分怎么说清楚呢
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