【 在 pingpong 的大作中提到: 】
: 我记得群论在物理学中很重要，杨振宁靠的不就是群论么
:

群论的应用应该是很广， 但是， 也正因为如此，更抽象。

从自然数，到小数分数， 到实数复数， 到集合， 到群。
从算数， 到代数，抽象代数，
从函数， 到泛函数。
前者是操作对象， 后者是讨论对象的关系， 从前到后， 变得越来越抽象。
群论， 在计算机领域， 也是计算机基础课，离散数学里占比很大的内容。

群论， 一般构建在集合的基础上，
把集合构建出一个封闭， 完全的系统， 然后描述系统中的各种关系。
其实， 我们学的最简单的算数，其实也是构建在群理论之上的。
比如， 算数需要的集合， 整数， 还有上面的运算， 加法， 就可以构成一个封闭系统，
它符合群的定义：

群是一个集合 G ，连同一个运算o，它结合任何两个元素 a 和 b 而形成另一个元素，记为 aob 。符号"。"是对具体给出的运算，比如整数加法的一般占位符。要具备成为群的资格，这个集合和运算 (G,。) 必须满足叫做群公理的四个要求：
封闭性：对于所有 G 中 a,b ，运算 a。b 的结果也在 G 中。
结合性：对于所有 G 中的 a,b 和 c ，等式 （a。b）。c=a。（b。c） 成立。
单位元：存在 G 中的一个元素 e ，使得对于所有 G 中的元素 a ，等式e。a=a。e=a 成立。
逆元：对于每个 G 中的 a ，存在 G 中的一个元素 b 使得 a 。 b=b。a=e ，这里的 e 是单位元。

可以验证， 这个群的集合G， 就是整数， 把整数做加运算， 还是整数， 符合封闭性，
加法是符合结合律的， 单位元是整数零，  逆元则是相反数， 4的逆元就是-4.

其实， 如果把加法换成乘法这个运算符， 那还是不是群呢？
封闭性？ OK，  结合性？  OK
单位元， 显然， 不是零， 换成了1。
逆元呢？ 显然， 逆元需要引入分数， 否则是不存在逆元， 就不能构成群了。

其实， 如果把加法换成除法这个运算符， 第一条， 封闭性就不能满足了， 5/3 就不再是整数。

其实， 生活中也有很多关系可以是群。 比如同学关系， 朋友关系， 兄弟关系。
你的班级同学， 你的50个朋友， 你的五个兄弟。 这都能构成一个封闭系统， 元素的关系都是完全对等的， 每个元素既是单位元也是逆元。

群论， 是在更抽象的层面，总结事物规律， 来找出共性， 寻找共同的规律。
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