疯狂推荐，强烈推荐这个blog
https://blog.jessriedel.com/2017/06/28/legendre-transform/
上面推荐过了，再来一遍
我感觉这几天要升华了，里面东西太多了，先来个引子大家感受一下：
Legendre transform的另一个"等价定义"： 如果f,g互为legendre变换，那么f',g'是逆函数！（’是求导）
……
有没有很震撼？
这才是开始
blog的作者是UCSB的一个青年物理学家，我简直要崇拜他了。然后我看到了blog下面的讨论，他的主要思想来源是wiki，还有“数学物理方法 vol I”by Courant，and Hilbert, 第四章第9节第10节

我终于有机会拜读Hilbert的大作了。
Jess还配了图。

此外jess说的这个逆函数关系我在wiki的不起眼的地方也找到了，
https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_transformation#Legendre_transformation_on_manifolds
最后一行，用的几何语言。然而我并没有在wiki这个条目的参考文献【2】里找到，奇怪。jess也并没有提及。

但是，我在Marsden and Ratiu的Introduction to mechanics and symmetry里面找到了，第7.4节，定理7.4.20
剩下的，把这些资料全读通，估计所有问题就都解了
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关于你说的六边形的有尖点的估计和我上一楼说的例题是一件事情，你看一下，Arnold书第4版第49页例题4，处理了一个折线通过legendre变换到折线的例子，但是没有给过程。我脑补了一个处理方法，不知道对你的情形适用不适用，我先不说我的方法，因为我觉得这里的方法可能会不唯一，你说的改造后再变换是指怎么改造的？
我的想法在下面，不要偷看
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我的想法是给原函数多添加一个维度：隐性时间参数t,然后剩下的自然的多了
【 在 scottcas 的大作中提到: 】
: 谢谢楼上各位大佬的讨论说明。现在正在做热力学框架下的本构方程，主要就是用这个变换，感觉对于类似正六边形那种有尖点的函数，只能改造后再变换了。推导起来好难，我看其他人论文，推导出来的表达式老长了。
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书上并没有给过程，只有答案。其实上，倒角法也及其容易想到，而且也是正规方法之一，当你说无奈之举的时候，我猜你对摄动理论不熟悉。事实上，这个圆弧可以做成epsilon相关，你一切推导都带着epsilon走，最后结果再令epsilon->0,就是一个自然的思路。而且，这种思路下，你的倒角圆弧不需要很圆，只需要epsilon->0能恢复原图就行，具体形式的自由度就多了，选择你推导起来最方便的那个

【 在 scottcas 的大作中提到: 】
: 在转折的地方做个“倒角”——用一段圆弧过渡。。。这样做误差也是无奈之举，多谢您的指点，我回头看看那个书上的做法，应该比“倒角”靠谱。
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看id眼熟，然后去围棋版搜了一下，果然是常见版友

【 在 cjohn 的大作中提到: 】
: 给博学多才、贤良淑德的版主点赞。
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你这个帖不就是在问lagrange函数和哈密顿函数的关系么。。。

【 在 Z5boy 的大作中提到: 】
: 看得一头雾水
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