- 主题:怎么给小孩讲解无穷∞的概念？
娃初一，常问无穷相关的问题，从小学问到初中，问了很多次。我感觉我说的很不清楚。
记得我小学六年级，有一道0.999999(无穷个9)和1比大小。老师说是相等，我比较认真，就追着老师问，为啥是相等，他们之间不是永远也差一个1？ 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自己都没把自己说清楚！
无穷在生产中生活中是不存在的，是一个虚拟的概念，怎么教小孩无穷，他们更容易理解？
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嗯，这个建议好。
确实是2种问题，一种是无穷大小，一种是类似0.9循环的极限问题。
对于极限问题，问题出在等号的定义上
0.99999循环等于1，1.0000也等于1。而0.9999和1.0000又明显不相等，会出现类似芝诺悖论的效果。
虽然确实有些简单方法在数学上证明0.99循环等于1，但很难消除这个悖论的迷惑。
【 在 weiminglake 的大作中提到: 】
: 无穷和极限是两个概念，我们经常把无穷和极限联系在一起，但是在讲的时候这两个概念要分开阐述，否则就会让听的人一脑浆糊。无穷是一个趋势，极限是一个精确值。具体的定义可以参考高数中的定义，这样听的人会比较清...
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我借着搜索极限的定义，找到了更准确的问题，
关于0.9999循环＝1.0，产生很难理解的地方并不是类似微积分的概念小孩难理解，而是等式左边表示的是一个不断添加9的过程，右边是一个具体的数。
所以，按照数学的严谨性，要么重新解释相等，要么重新理解0.9999循环。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 嗯，这个建议好。
: 确实是2种问题，一种是无穷大小，一种是类似0.9循环的极限问题。
: 对于极限问题，问题出在等号的定义上
: 0.99999循环等于1，1.0000也等于1。而0.9999和1.0000又明显不相等，会出现类似芝诺悖论的效果。
: 虽然确实有些简单方法在数学上证明0.99循环等于1，但很难消除这个悖论的迷惑。
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我看到网上有人重新定义了0.9循环，认为数学上0.9循环的写法指的是一种新定义，定义了0.9循环这一过程的极限结果，所以两者可以相等，感觉说的通。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 我借着搜索极限的定义，找到了更准确的问题，
: 关于0.9999循环＝1.0，产生很难理解的地方并不是类似微积分的概念小孩难理解，而是等式左边表示的是一个不断添加9的过程，右边是一个具体的数。
: 所以，按照...
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我大学的时候才学微积分，给初一娃灌输微积分的概念有些太超前。
此外，小孩难理解的是0.9循环过程中的任意一个具体的数0.999999都比1小，为啥最后是相等的。
根据板友的建议，引入极限的概念，加上使用0.99循环新定义到它的极限，则完美解释清楚。
【 在 Hakintosh 的大作中提到: 】
: 你没学过高数吗
: 你就用epsilondelta语言的逻辑给小孩讲，小孩也能理解个大概，至少是能记住。
: 老师就开始解释，整了10分钟面红耳赤，后来来个，这个不会考的，如果考，填相等保证正确。我觉得她自...
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这个方法看上去不错，不幸的是，它在小学和初中可以接受; 但到了高中和大学，这个证明过程就是错误的。
【 在 Carlito 的大作中提到: 】
: 用1/3还不如用
: “10×0.9循=9+0.9循，得0.9循=1”
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FROM 223.104.41.*
娃自己问的呀，给个回答，至少也得娃觉得有道理吧。
这种问题，娃不问，最好不要启发她。如果往高了整，第一娃不懂，第二我可能也不懂。
此外，无限或者无穷，不是自然而然就能理解的。
【 在 masterlv 的大作中提到: 】
: 问题在于，你为什么要让一个初中的小孩子，去理解无穷的概念？
: 请记住一条，有很多道理，是大脑神经成熟之后，会自然就理解的，不需要去强行拔高。
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FROM 223.104.41.*
嗯，把它当成一个动画或者过程，这个是一个重要原因。在小学和初中，都尽量避开无限个9中无限的概念，这样就很难搞清楚0.9中无限个9代表的具体是什么东西，而且现实中也不存在这个写不完的小数。 即使认为它是一个数，在有限的范围内，它也不等于1。
无限多这个事儿并不简单。
【 在 verybirds 的大作中提到: 】
: 原因可能是一些人把0.9的循环当成动画
: 是一个不断写9的过程
: 实际上这是一个静态的数，就是1的换皮表达
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看了李永乐戴德金分割，似乎以前学过该知识，不知道什么时候学过。但证明过程不像是初中生能理解的。
我查了一下ai
"戴德金分割的概念通常出现在高等数学或者大学数学分析的课程中，特别是实变函数论和微积分学科。它并不是中学数学课程的标准内容。因此，如果要学习戴德金分割，一般需要达到大学数学的水平。"
【 在 hany2017 的大作中提到: 】
: 初一已经接触数轴了，整数、有理数、无理数个数可以入手。
: 另外，0.99999999=1的问题看李永乐，了解下戴德金分割。
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FROM 223.104.41.*
看了网友推荐的戴德金分割，可以明白实数的定义，而由实数的定义推导了0.9循环是等于1的。在实数的概念里，0.9循环和1表达的是同一个东西。 这就好比，我们先定义了钢笔，再拿出2只钢笔，说这两个一样的钢笔，在写字这种范围内，可以互做等价替换(虽然它们的其它未知特征可能不同)。
又说1/3=0.333循环，这个显然是算术经验或者经验结果。使用戴德金分割的实数定义，确实可以证明该经验结果在实数范围内是成立的。但用该经验结果去证明1＝0.999循环，确实会有鸡生蛋，蛋生鸡的问题。
【 在 wfunny 的大作中提到: 】
: 看了李永乐戴德金分割，似乎以前学过该知识，不知道什么时候学过。但证明过程不像是初中生能理解的。
: 我查了一下ai
: "戴德金分割的概念通常出现在高等数学或者大学数学分析的课程中，特别是实变函数论和微积分学...
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