原题在这里：https://www.newsmth.net/nForum/#!article/PreUnivEdu/27294
图版有标准答案，但我觉得不是特别符合普通高中生的水平。我贴个用30年前高中知识解决的答案，不需要用到求导。

(I) 当 a=8 时，
    f(x) = 1/sqrt(1+x) + 1/sqrt(1+8) + sqrt[8x/(8x+8)]
         = 1/3 + 1/sqrt(1+x) + sqrt[1-1/(1+x)]
         = 1/3 + sqrt{ 1 + 2sqrt[1/4 - (1/(1+x)-1/2)^2]}
所以，当 0<x<1 时，1/(1+x)>1/2 ，(1/(1+x)-1/2)^2 单调减，1/4 - (1/(1+x)-1/2)^2 单调增，故 f(x)单调增；
当 1<=x<正无穷 时，1/(1+x) <=1/2，(1/(1+x)-1/2)^2 单调增，1/4 - (1/(1+x)-1/2)^2 单调减，故 f(x)单调减。
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修改:laofu FROM 27.38.250.*
FROM 27.38.250.*

(II)再证 f(x)<2
    令 g(x) = 1/sqrt(1+x) + sqrt[ax/(ax+8)]，则
        g(x)的平方 = 1/(1+x) + ax/(ax+8) + 2*sqrt{ax/[ax^2+(a+8)x+8]}
                        = 1+ [(a-8)x]/[ax^2+(a+8)x+8] +  2*sqrt{ax/[ax^2+(a+8)x+8]}
    令 y = sqrt{x/[ax^2+(a+8)x+8]}，得 g(x)的平方 = 1 + 2*sqrt(a)*y + (a-8)y^2
    由于 x/[ax^2+(a+8)x+8] = 1/(ax+8/x + a+8) <= 1/[a+8+2sqrt(8a)]={1/[sqrt(8)+sqrt(a)]}^2
    所以有 0<y<=1/[sqrt(8)+sqrt(a)]

   当 a>8 时，g(x)的平方<1 + 2*sqrt(a)*y + a*y^2 = (1+sqrt(a)*y)^2
   f(x)=g(x)+1/sqrt(1+a)< 1+sqrt(a)*y+1/sqrt(1+a) < 2+1/sqrt(1+a) - sqrt(8)/[sqrt(8)+sqrt(a)]
   易证 当 a>8 时 1/sqrt(1+a) < sqrt(8)/[sqrt(8)+sqrt(a)]，
   所以当 a>8 时，f(x)<2

   当 a<8 时，
    g(x)的平方 = (a-8)[y-sqrt(a)/(8-a)]^2 + 8/(8-a)

       当 2<=a<8 时，y<=1/[sqrt(8)+sqrt(a)]<=sqrt(a)/(8-a)，
       所以  g(x)的平方 <= 1 + 2*sqrt(a)*ymax + (a-8)ymax^2
                                 = 1+[3sqrt(a)-sqrt(8)]/[sqrt(a)+sqrt(8)]
                                 < 2  
       f(x) < 1/sqrt(1+a) + sqrt(2) < 1/sqrt(3) + sqrt(2) < 2

      当 a<2 时，因为y最大值比 sqrt(a)/(8-a) 大，故 y 可以取 sqrt(a)/(8-a)
      所以 g(x)的平方 <= 8/(8-a)
     f(x)的平方<={1/sqrt(1+a) +sqrt[8/(8-a)]}^2
                   <=2 * [1/(1+a) +8/(8-a)] = 2*[(16+7a)/(8+7a-a^2)]
     因为当 0<a<2 时，7/(7-a)<7/5<2，所以 (16+7a)/(8+7a-a^2)<2
    所以 f(x)的平方<4，f(x)<2

综上，对任意 a>0，f(x)<2
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FROM 27.38.250.*

这题看起来不难啊，我做做看：

依题意，f(x)=x+a(x-x1)(x-x2)=axx+(1-ax1-ax2)+ax1x2
对称轴在-b/2a=(x1+x2-1/a)/2<x1/2
2)证了，1）显而易见啊
【 在 USSRCCCP 的大作中提到: 】
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: 设二次函数f(x)=ax^2+bx+c (a>0)，方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1/a。  
: （1）当0＜x＜x1时，求证:x<f(x)<x1  
: （2）设函数f(x)的图像关于直线x=x0对称，证明x0<((x1)/2)  
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: :  
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发自「今日水木 on iPhone 6」
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FROM 153.3.64.*

你这个“2)证了，1）显而易见啊”，考试要得分得补好多字

【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 这题看起来不难啊，我做做看：
: 依题意，f(x)=x+a(x-x1)(x-x2)=axx+(1-ax1-ax2)+ax1x2
: 对称轴在-b/2a=(x1+x2-1/a)/2<x1/2
: ...................
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FROM 117.136.40.*