如果知道高中的圆的参数方程，向量加，加坐标旋转，以及比较好的空间想象能力，才能比较快地做出来，否则楞算真感觉有点儿困难。



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FROM 123.116.124.*

对角都是直角的，应该可以直接用中线=底边一半直接证明四点共圆，然后再利用圆周角相等。

【 在 miaoji 的大作中提到: 】
: 四点共圆是不是不能用？
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对，O1和O2的半径都应该是√2.

【 在 they 的大作中提到: 】
: 两个轨迹圆的半径肯定是一样的吧
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T=(t,0)，E在以T为圆心，半径为1的圆上。
则E有参数方程形式：E=(t+cosA, sinA)，其中0≤A≤2π；




线段AB关于点E的“位移点”形成了线段A'B'，A'B'=AB + OE，即
A'=(2+t+cosA, sinA), B'=(t+cosA, 2+sinA)

点P在线段A'B'(x+y=2+t+cosA+sinA)上，则P的参数方程形式为：
P=(p+t+cosA, 2-p+sinA)，其中0≤p≤2；

D为OP绕P点左右旋转π/2而得，有两个可能。

1. 顺时针旋转到D1。
D1=(P_x - P_y, P_x + P_y)
  = (2p+t-2+cosA-sinA, t+2+cosA+sinA)
  = (2p+t-2+√2cos(A+π/4), t+2+√2sin(A+π/4))
  
其中0≤A≤2π，如果遍历参数A，很明显D1组成的图形为：
以O1=（2p+t-2, t+2)为圆心，半径为√2的圆

其中0≤p≤2,如果遍历参数p，则上述圆O1组成横向跑道形状；
其中最左边半圆圆心为(t-2,t+2)，最右圆心为(t+2,t+2)。

再遍历t，题目要求的是跑道何时和圆S相交。

可以看到这个跑道沿着π/4方向移动，那么从图中可以看出：

最上面的跑道是图中和圆S斜向相切的圆O1a。此时O1a=(4,8)，t=6
最下面的跑道是图中和圆S纵向相切的圆O1b。此时O1b=(2,6-2√2),t=4-2√2
（注意，和圆S在下方斜向相切的圆O2b并不是最下面的跑道）

故情况1中t范围之一为[4-2√2, 6]

2. 逆时针旋转到D2。
和情况1类似分析, D2组成纵向跑道形状。其中最上边半圆圆心为(t+2，2-t)，最下圆心为(t+2,-2-t)；

再遍历t，题目要求的是跑道何时和圆S相交。

可以看到这个跑道沿着-π/4方向移动，那么从图中可以看出，
跑道仅在圆O2b时和圆S相切，此时O2b=(0,4), t=-2

综上，t的范围是[4-2√2, 6] U {-2}。

【 在 hound 的大作中提到: 】
: O2半径是1, sqrt(2)缩到1
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修改:Elale FROM 123.116.124.*
FROM 123.116.124.*

你是由圆S上的D点推P的轨迹，我是反过来由P推D的轨迹，殊途同归，但你的方法更便捷，赞  
    
【 在 hound (hound) 的大作中提到: 】
:  重新整理下。  
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:  这题第二问是几个知识难点的集合。平时没训练过还真不好做。我来给个解答吧。  
:  由odp是p为直角的等腰三角形，可瓜豆推出p点轨迹有两个，一个是以(4,2)为圆心半径1的圆O1，一个是以(-2,4)为圆心半径1的圆O2。(简单求圆心的做法是构造正方形，求对角两点的中点）。  
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发自xsmth (iOS版)
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    　萧峰扯开自己衣襟，也现出胸口那张口露牙、青郁郁的狼头来。两人并肩而行，突然间同时仰天而啸，声若狂风怒号，远远传了出去，只震得山谷鸣响，数千豪杰听在耳中，尽感不寒而栗。“燕云十八骑”拔下长刀，呼号相和，虽然一共只有二十人，但声势之盛，直如千军万马一般。
※ 修改:·Elale 于 Apr 23 23:13:47 2025 修改本文·[FROM: 123.116.124.*]
※ 来源:·水木社区 http://www.mysmth.net·[FROM: 123.116.124.*]

修改:Elale FROM 123.116.124.*
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