- 主题:哪个桶里的水先放完？AI回答不一样 (转载)
结论是什么呢？A快还是B快，还是AB一样快啊
【 在 laomm 的大作中提到: 】
: 但是普通的练习题出过推导伯努利方程的题目
: 不过根据伯努利方程，确实跟自由落体是一样的，这也体现了自然之美
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FROM 114.254.172.*
没想到B一直领先这么久，我还猜测二者会在中位线处再次出现液面平齐，之后A才会领先。
【 在 DragonDon 的大作中提到: 】
: A快；
: 一句话解释就是：由于桶的形状，相同体积下，A的液面必然高于B，也就是流速更快，流完时间更短
: 液面变化如下：（AI帮助仿了个真）
: ...................
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没有严谨的微分方程求解还是有疑问。“由于桶的形状，相同体积下，A的液面必然高于B”很像是AI的话语，但这只在中位线以上成立，过中位线之后就不成立了。对一个圆柱体，设其高为h，底面为s1，开孔为s，可以通过微积分算出水流时间t=(s1/s)sqrt(2h/g)。假如有2个底面积分别为s1和s2，s1>s2,高度都是h的两个圆柱体上下叠放成一个整体容器，底部开口仍为s。这个容器水流完的时间是否是t1+t2=sqrt(2h/g)(s1+s2)/s?。如果是的话，则将该容器倒置，其水流完时间必然仍不变。
顺便能否介绍一下AI的仿真过程吗？
【 在 DragonDon 的大作中提到: 】
: A快；
: 一句话解释就是：由于桶的形状，相同体积下，A的液面必然高于B，也就是流速更快，流完时间更短
: 液面变化如下：（AI帮助仿了个真）
: ...................
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FROM 114.254.172.*
谢谢，方便时可以贴一下仿真代码学习一下。
本题确实是A快。逻辑推理如下：
假设最终B先流完，由于一开始B下降的液面就比A快那么一丢丢，造成A的出水流速高于B，由于整个过程是连续的，很难想象在B一开始领先，最后仍然领先的过程中会出现A的液面能追上B的情况，也就是全过程A的液面都是高于B的，但这会导致A的出水速度全程大于B，在体积相同时反而后流完，矛盾。故B不可能先流完。
假设AB是同时流完的，同样由于一开始A是落后的，但要同时流完必然会出现一个时刻AB液面是相同高度的，显然这个同高时刻不能出现在中途，因为一旦出现在中途，接下来的趋势就是A超过B，并领先。所以AB液面等高只能出现在最后一个时刻。观察这最后时刻前的一个短暂时间，由于A形状决定了接近等高液面前，体积要比B部分小很多。这就要求越是接近最后时刻，越要求出现A的液面要比B低才能实现小体积和大体积同时流完，这与前面假设矛盾。
综上，只有A快才不会出现逻辑矛盾。
前面的分析是基于出水速度只与高度差相关，但单纯通过伯努利方程推出这个结论还是有问题的，毕竟上液面的下降速度并不是0，甚至不能忽略不计。
【 在 DragonDon 的大作中提到: 】
: “由于桶的形状，相同体积下，A的液面必然高于B”这句话不是出自AI，而且这句话在中位线以下也是成立的。
: 任何时候，如果B体积和A体积相同了，都会导致其液面高度更低（观测形状可以得出这个结论），那马上会使得B流得比A慢，由于这个原因，B其实永远无法和A的体积相同（除了起始时刻）
: 理解上，你可以把B的体积看出两个部分：和A体积相同的部分加上一个增量，根据叠加性，B流空的时间也可以看成是这两个部分流空时间之和。由于前面的理由，和A相同部分流空的时间必然大于A流空的时间，那和的流空时间更大于A流空的时间。
: ...................
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修改:tsuld FROM 114.254.172.*
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谢谢你的代码，非常棒！
借着你的核心公式dh/dt= - (A_out * sqrt(2 * g * h)) / A_surface 进行一下积分操作，中间改几个表示方式，引入上底面与侧壁夹角α的余切来替换 (r_t - r_b) / H，引入出口圆孔半径r_o来替换A_out。改写后dh/dt表达式并分离变量可得dh*(r_b+ctg(α)*h)^2=-r_o^2*sqrt(2gh)*dt,对该式两侧分别对dh和dt积分可求得t的表达式:t*sqrt(2g)*r_o^2=2*H^(1/2)*r_b^2+(2/5)*(ctg(α)^2)*H^(5/2)+(4/3)*r_b*ctg(α)*H^(3/2),对于B桶而言，只需要将r_b换成r_t,ctg(α)换成-ctg(α)即可。整理后发现，A的流完时间比B小等价于2/3<1。A快的结论成立。
【 在 DragonDon 的大作中提到: 】
: function dhdt = taper_ode(t, h, r_t, r_b, H, A_out)
: g = 9.81;
: % 计算当前高度 h 的半径 r
: ...................
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修改:tsuld FROM 114.254.172.*
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