如果允许系数为0，我觉得应该这样：

1、当 p0=0 时，取 p1=1，pi=0 (i大于1)，显然有 E(X)=1 且 p=1，命题不成立

2、当 p0大于0 时，令 f(x)=p0+p1*x+p2*x^2+p3*x^3 - x
显然 x=1 是 f(x)=0 的一个根。

2.1
如果 i大于1 的所有 pi 都为0，那么 f(x)=p0+p1*x-x 是线性函数，f(x)=0 只有 x=1 这一个根，且 E(x)=p1小于1，命题成立；

2.2 如果至少一个 pi(i大于1) 非0，
因为 f"(x)= 2*p2 + 3!*p3*x + ...，当x非负时显然 f"(x)大于0,
所以 f'(x) 在 正实数 上单调增。
又因为 f'(0)=p1-1小于0，f'(无穷大)大于0，所以 f'(x)=0 在正实数上有唯一解，f(x)在正实数上有唯一极值点，所以 f(x)最多有两个正根。

所以，当E(X)等于1时， f'(1) 等于0，即f(x) 在正实数上的极值点为1，所以 f(x)=0 只有一个解x=1，所以 p=1；

当 E(X)小于1时，f'(1)小于0，所以f'(x)=0的解大于1，f(x)的极值点大于1，f(x)=0另一个正根大于1，所以 p=1。

当 E(X)大于1时，f'(1)大于0，f(x)极值点大于0小于1；又 f(0)>1，所以f(x)=0有一个小于1的正根，所以 p<1。


【 在 nisus 的大作中提到: 】
: 明白你的问题了
: 我按照你说的思路证了一下
: 讨论系数为0或者非零的情况
: ...................
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