- 主题:2022北京大学强基计划数学试题
第2题没有图，如果ABCD是按顺时针或逆时针顺序的话，
可得 ∠ADB+∠BAC=90°，且ABCD是平行四边形
有 (AC/2)/sin∠ADB=(BD/2)/sin∠CAD
(AC/2)/sin∠ABD=(BD/2)/sin∠BAC
所以 sin(2*∠ADB)=sin(2*∠ABD)
所以 ∠ADB=50°或 ∠ADB=40°
有两个解
【 在 superant011 的大作中提到: 】
: 第二题用matlab算出来了是2
: 如果把40度换成40.4011，那就是1,大于40.4011就是0
: 这也太临界了。
: ...................
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FROM 120.229.69.*
1、只有1个。笨办法，先确定 n 可以 写成 2k(k+1) ，k不大于31；然后确定 n 必须是8的倍数，k只能是 4p 或 4p-1 这样，总共15个，一个个试，只有 n=40 符合
2、2个
3、不会（根据前两题结果，我猜是3个）。
4、令β=(根号5-1)/2，显然β小于1，β^12 小于1
显然 α^12+β^12 是个整数
α^12+β^12=[(α^6+β^6)^2]-2
α^6+β^6=[(α^3+β^3)^2]-2
α^3+β^3=[(α+β)^3]-3根号5=2根号5
所以 α^12+β^12=322
所以结果=321
5、没看懂，不知道y1是不是可以=y2，f4d5d6是一个3位数还是3个个位数相乘
6、笨办法，6个
后面没有勇气做了
【 在 wang73 的大作中提到: 】
: [upload=1][/upload][upload=2][/upload][upload=3][/upload][upload=4][/upload][upload=5][/upload]
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FROM 120.229.69.*
应该是4
如果 a_(n) 大于 4，则 a_(n+1) 小于 a_(n)，且 a_(n+1) 大于4
所以最后应该会收敛到4上
然后a_(10)不知道是不是收敛到接近4了，验证一下
a_(1)=12，a_(2)=15/2，a_(3)=45/8，a_(4)=153/32小于5了，a_(5)=561/128 小于 4.5
【 在 kant2000 的大作中提到: 】
: 14题比较简单 36？
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修改:laofu FROM 120.229.69.*
FROM 120.229.69.*
哦，2^(n*20) mod 100 = 76
【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 3、y从84到1984，20个。
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FROM 120.229.69.*
100以内，怎么确定其他值不行呢？
【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 3、y从84到1984，20个。
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我一小时只做出4道，最苦是第一题，琢磨了半天技巧，最后还得用笨办法。
【 在 spioner007 的大作中提到: 】
: 这套卷子时间只有一个小时
: --来自微微水木3.5.12
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FROM 120.229.69.*
因为2n+1是奇数，所以应该是奇数的平方，
令2n+1=(2k+1)^2，得n=2k(k+1)
所以n是偶数，所以3n+1是奇数
令3+1=(2j+1)^2，得n=4j(j+1)/3
所以n是8的倍数，k是4p或4p-1
又因为n=2k(k+1)小于2022，得k小于32
所以k只能在3,4,7,8 等 15个数中选。
我到这一步只花了2分钟左右。我觉得15个数还是太多，验算工作量太大，希望能进一步缩小范围。不知不觉20几分钟过去，没有进展。最后灰头土脸花了5分钟验出来只有k=4，n=20。
【 在 zhenniub 的大作中提到: 】
: 第一题我的算法是假设2n+1=a^2,3n+1=b^2，然后做变换可以得到a=2b+sqrt(6b^2+1),因为ab都是整数，所以6b^2+1肯定是完全平方数，假设等于m^2，则b^2=(m+1)(m-1）/6，所以(m+1)或（m-1）必然能被6整除，然后就去找6的倍数前后的数一个个试看看是不是完全平方数，比如(4 6)这个组合就可以，则b=2，a=9,n=40，下面(6 8) (12 10) (12 14)...这样找下去都不行。然后到了（48 50）才找到另一组数，b=20，a=89，n=3960,但n超过了2022，所以答案是1。当然，实际上不用算到（48，50），算到中间就知道找不到另一个了。
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FROM 117.136.33.*
第7题还好，有思路就行，计算量不大。而且就算不能像你那样列出解析式，也可以靠直觉判断出接近圆时面积最大，三角形时最小。
最烦的还是第一题、第三题这种，就算有一点思路能减少一点计算，计算量还是很大；一不小心哪个数字算错，就前功尽弃，由此还会不停怀疑是不是应该再换个思路，唉。
【 在 superant011 的大作中提到: 】
: 第三题还行看到模100，就应该知道考察y的后两位就行了。
: 第7题是真的只有老手才能快速想出来，对三角形和数字要非常敏感。
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FROM 120.229.36.*
米土，中间算错就放弃了
【 在 zhenniub 的大作中提到: 】
: 这题你是事先知道了4^p模100是10个一循环吗？我一开始作这题用2^p来找循环，可能数太多了我数错了，发现是19个一循环，这下子给我搞懵了，不知道怎么往下做了。。。
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FROM 120.229.36.*
(1,3/2] 吧。笨办法，计算量有点大：
不失一般性，设 a=b-d，c=b+d
因为 a+b 大于 c，所以 b 大于 2d。
余弦定理 cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
cosA+cosB+cosC = (3/2)[1- d^2/(b^2-d^2)]，是d的减函数
d=0最大，=b/2时最小
【 在 nisus 的大作中提到: 】
: 19题
:
: 利用a+c=2b
:
: 可证明
:
: cosA+cosB+cosC=2-cosB
:
: 范围为（1，2）
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FROM 120.229.36.*