- 主题:2022北京大学强基计划数学试题
第一题就不会。。。。
【 在 wang73 的大作中提到: 】
: [upload=1][/upload][upload=2][/upload][upload=3][/upload][upload=4][/upload][upload=5][/upload]
--
FROM 111.202.125.*
第二题用matlab算出来了是2
如果把40度换成40.4011，那就是1,大于40.4011就是0
这也太临界了。
这考试能用计算器不？
【 在 wang73 的大作中提到: 】
: [upload=1][/upload][upload=2][/upload][upload=3][/upload][upload=4][/upload][upload=5][/upload]
--
修改:superant011 FROM 111.202.125.*
FROM 111.202.125.*
很巧妙，我只会用余弦定理硬算。
【 在 laofu 的大作中提到: 】
: 第2题没有图，如果ABCD是按顺时针或逆时针顺序的话，
: 可得 ∠ADB+∠BAC=90°，且ABCD是平行四边形
: 有 (AC/2)/sin∠ADB=(BD/2)/sin∠CAD
: ...................
--
FROM 111.202.125.*
第三题：
y肯定为偶数，则令y=2p,所以 4^p+2p能被100整除
p=1时，4^p模100余数为 4 2p的末两位必须为96，p的末两位必须为48或者98
p=2时，4^p模100余数为 16 2p的末两位必须为84，p的末两位必须为42或者92
p=3时，4^p模100余数为 64 2p的末两位必须为36，p的末两位必须为18或者68
p=4时，4^p模100余数为 56 2p的末两位必须为44，p的末两位必须为22或者72
p=5时，4^p模100余数为 24 2p的末两位必须为76，p的末两位必须为38或者88
p=6时，4^p模100余数为 96 2p的末两位必须为4，p的末两位必须为02或者52
p=7时，4^p模100余数为 84 2p的末两位必须为16，p的末两位必须为08或者58
p=8时，4^p模100余数为 36 2p的末两位必须为64，p的末两位必须为32或者82
p=9时，4^p模100余数为 44 2p的末两位必须为56，p的末两位必须为28或者68
p=10时，4^p模100余数为76 2p的末两位必须为24，p的末两位必须为12或者62
p=11时，4^p模100余数为 4
p=12时，4^p模100余数为 16
可以看出是以4^p对100的余数是以10为周期的周期性变换特性
只有p的尾数为42或者92时，是能满足条件的。
y的尾数为84时满足，y=84,184,284,384，.....1984
y一共有20个。
【 在 wang73 的大作中提到: 】
: [upload=1][/upload][upload=2][/upload][upload=3][/upload][upload=4][/upload][upload=5][/upload]
--
FROM 111.202.125.*
第七题：
由于内切圆的半径R乘以四边形的周长除以2等于四边形的面积S，所以只要算出面积的范围即可。
由余弦定理：
1+4-4cosB=9+16-24cosD
整理得到： 5=6cosD-cosB
由正弦定理： S=sinB+6sinD
平方相加得到： S^2+25=36+1+12sinBsinD-12cosBcosD
整理得到： S^2=12(1-cos(B+D))
所以其实就是求cos(B+D)的范围
显然cos(B+D)最小值为-1，当B+D=180时取得，此时ABCD共圆
S^2(MAX)=24
当四边形退化为三角形时，cos(B+D)取最大值，验算一下两种不同的退化方法，容易得到当边长1和边长3共线时，cos(B+D)最大，值为-1/4
S^2(MIN)=15
【 在 wang73 的大作中提到: 】
: [upload=1][/upload][upload=2][/upload][upload=3][/upload][upload=4][/upload][upload=5][/upload]
--
FROM 111.202.125.*
第三题还行看到模100，就应该知道考察y的后两位就行了。
第7题是真的只有老手才能快速想出来，对三角形和数字要非常敏感。
【 在 spioner007 的大作中提到: 】
: 这考场上能想的出来?每题才3分钟
: --来自微微水木3.5.12
--
FROM 111.202.125.*
你仔细算，2^p对模100是20一个循环，也可以做
我没搞过数学竞赛，这个我网上查了一下，有个欧拉降幂定理，不管是哪个数的p次方，一定会是100*(1-1/2)*(1-1/5）＝40一循环，其中2和5是100的素数因子，不会出现19一循环的。
a^n模100会循环，这个我心里大概有数。
【 在 zhenniub 的大作中提到: 】
: 这题你是事先知道了4^p模100是10个一循环吗？我一开始作这题用2^p来找循环，可能数太多了我数错了，发现是19个一循环，这下子给我搞懵了，不知道怎么往下做了。。。
--
修改:superant011 FROM 111.202.125.*
FROM 111.202.125.*
太难了，我随便做一题都是半小时。
第12题：
先用函数图像确定根的个数:
x的定义域为【-1，1】,(1-x^2)^0.5为x轴上方的半个单位圆
4x^3-3x为过原点的典型三次曲线，奇函数，有三个零点（0，正负根3/2）,负1/2取得极大值1，正1/2取得极小值-1.
观察图像容易看出有三个实数根，两个小于0，在-1/2两侧，1个大于0接近1。
两边平方且对令t=x^2,可以得到：
16t^3-24t^2+10t-1=0;
求导考察函数图像可知，这个方程有三个实数根，都在0-1范围之内。从小到大设为t1,t2,t3
所以x=正负根t1,正负根t2,正负根t3 一共6个
根据前一步的判断可以知道，有三个增根，实际上是由于4x^3-3x<0而产生的增根。
经过大小比较得到：
负根号t1,负根号t2,根号t3这三个数是方程的三个实数根。
x1x2x3=根号（t1t2t3）=根号（1/16）=1/4
根的个数除以根的乘积为12
我觉得必须能用计算器，要不然这一堆根式比大小，考察根的范围，非常非常麻烦。
【 在 laofu 的大作中提到: 】
: 第7题还好，有思路就行，计算量不大。而且就算不能像你那样列出解析式，也可以靠直觉判断出接近圆时面积最大，三角形时最小。
: 最烦的还是第一题、第三题这种，就算有一点思路能减少一点计算，计算量还是很大；一不小心哪个数字算错，就前功尽弃，由此还会不停怀疑是不是应该再换个思路，唉。
:
--
修改:superant011 FROM 111.202.125.*
FROM 111.202.125.*
看到一大串三角函数就头疼。
【 在 laofu 的大作中提到: 】
: BC上的高=面积*2/c= a-b
: 所以 sinA=(a-b)/b=a/(2R)
: {sin[(A-B)/2]+sin(C/2)}^2
: ...................
--
FROM 111.202.125.*