- 主题:2022北京大学强基计划数学试题
第一题花了小十分钟才找到两个数n=40和n=3960，应该只有n=40满足条件吧。这题应该有个套路我还没找到，我法子子太慢了。。。
【 在 superant011 的大作中提到: 】
: 第一题就不会。。。。
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FROM 124.65.47.*
第一题我的算法是假设2n+1=a^2,3n+1=b^2，然后做变换可以得到a=2b+sqrt(6b^2+1),因为ab都是整数，所以6b^2+1肯定是完全平方数，假设等于m^2，则b^2=(m+1)(m-1）/6，所以(m+1)或（m-1）必然能被6整除，然后就去找6的倍数前后的数一个个试看看是不是完全平方数，比如(4 6)这个组合就可以，则b=2，a=9,n=40，下面(6 8) (12 10) (12 14)...这样找下去都不行。然后到了（48 50）才找到另一组数，b=20，a=89，n=3960,但n超过了2022，所以答案是1。当然，实际上不用算到（48，50），算到中间就知道找不到另一个了。
【 在 laofu 的大作中提到: 】
: 我一小时只做出4道，最苦是第一题，琢磨了半天技巧，最后还得用笨办法。
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FROM 124.65.47.*
是不是学一学初等数论做奥数题很有效。
【 在 laofu 的大作中提到: 】
: 因为2n+1是奇数，所以应该是奇数的平方，
: 令2n+1=(2k+1)^2，得n=2k(k+1)
: 所以n是偶数，所以3n+1是奇数
: ...................
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FROM 124.65.47.*
这得套路很熟吧？这里面的题还需要计算量，所以你得上来就知道这题思路是啥才有可能很快作出来吧。
【 在 spioner007 的大作中提到: 】
: 这考场上能想的出来?每题才3分钟
: --来自微微水木3.5.12
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FROM 114.255.230.*
这题你是事先知道了4^p模100是10个一循环吗？我一开始作这题用2^p来找循环，可能数太多了我数错了，发现是19个一循环，这下子给我搞懵了，不知道怎么往下做了。。。
【 在 superant011 的大作中提到: 】
: 第三题：
: y肯定为偶数，则令y=2p,所以 4^p+2p能被100整除
: p=1时，4^p模100余数为 4 2p的末两位必须为96，p的末两位必须为48或者98
: ...................
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FROM 114.255.230.*
是，如果我数出来20一循环，虽然还是很繁琐，但可以做。但我数成19了，我感觉这路子走不通了，然后就想不出来其他路子了。
【 在 superant011 的大作中提到: 】
: 你仔细算，2^p对模100是20一个循环，也可以做
: 我没搞过数学竞赛，这个我网上查了一下，有个欧拉降幂定理，不管是哪个数的p次方，一定会是100*(1-1/2)*(1-1/5）＝40一循环，其中2和5是100的素数因子，不会出现19一循环的。
: a^n模100会循环，这个我心里大概有数。
: ...................
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FROM 223.104.39.*
令t=x^2，则可以因式分解成（2t-1）（8t^2-8t+1)=0，可以把6个根都解出来，然后除就是了。
【 在 superant011 的大作中提到: 】
: 太难了，我随便做一题都是半小时。
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: 第12题：
: ...................
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FROM 223.104.39.*