不知道中学能否解决

说有一个杆，可以绕一条水平轴O在竖直平面内运动，杆初始是水平放置，离
杆的轴O长度为L处放有一个质点。某时，杆绕O向下匀速圆周运动，而后质点
与杆的自由端相遇，求角速度。

参考解答是按照质点自由下落求的时间。

我想问一下，该题如果质点与杆无摩擦，L应该满足一定条件，才能使质点的
自由下落和杆的匀速旋转两者同时满足吧？否则在质点与自由端相遇前，
质点应该和杆碰了不止一次吧?

这个条件是什么？
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假设质点自由下落，解得角速度后，要使质点与杆在第一次相遇前不碰，
必须满足的条件可以归结为以下数学问题

【参数c>0,不等式 tan(cx)>x^2(tan c) 对任何x∈(0,1)均成立，参数c的范围设为A。A是否包含所有的锐角？换言之能否证明对任何c∈(0,1.57)和x∈(0,1)成立 tan(cx)>x^2(tan c)？】

如果成立，那么任意放置质点，质点都能以自由落体的方式与杆在自由端相碰

否则，质点必须放置在一个合适的位置，才能以自由落体的方式与杆在自由端相碰。

上面这个【问题】我不会解决。

【 在 laofu 的大作中提到: 】
: 如果假设质点和杆是弹性碰撞，同样把质点运动分解成加速转动加速离心，也能解出使质点能恰好遇到自由端的条件。但显然转动的角加速度以及离心的加速度不是常数，必然要用到积分，似乎不是中学的范围了。
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不是碰撞问题。

该解答是用质点竖直向下落的轨迹与杆自由端的圆弧轨迹相交求的时间，如果这个解答
成立，必须在这个时间范围内，两者的轨迹从来不相交才行。解答只是求出了这个值，但

没有说明该值确实是合理的。我就是疑惑怎么证实这个合理性。

【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 如果是碰撞问题，显然第一次相遇比较简单，多次碰撞不是中学能解决的。
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甚至不需要精确求x范围，只需证实
任意 t大于0小于T，任意T小于(2x/g)^(.5)，有 tg(Ωt) 大于 gt^2/(2L) 即可

如此一来就可以“设杆长为x，可以求出相遇的时间 T=[4(x^2-L^2)/g^2]^(1/4)”这样设的T是合理的


【 在 laofu 的大作中提到: 】
: 设杆长为x，可以求出相遇的时间 T=[4(x^2-L^2)/g^2]^(1/4)
: 杆的角速度 Ω=[arccos(L/x)]/T
: 那么要求对任意 t大于0小于T，有 tg(Ωt) 大于 gt^2/(2L)
: ...................
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你这个理由，只能解释刚开始一小段时间内，确实是杆先跑在质点前

但不能说明，在相遇前一段时间内，杆还是跑在质点前

因为质点做的是加速运动

【 在 nkai 的大作中提到: 】
: 物块初速为0，所在位置杆竖直方向初始线速度大于0，
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