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主题:imo2022来了
楼主
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qlogic
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2022-07-15 23:56:36
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只看此ID
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FROM 61.242.129.*
1楼
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iwannabe
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2022-07-17 00:00:29
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只看此ID
感觉几何题很简单啊,做他还没有做高考题时间用的久。
【 在 qlogic 的大作中提到: 】
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FROM 124.222.41.*
2楼
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laofu
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2022-07-17 12:38:41
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只看此ID
前面两题有点简单过头了,不太像我心目中的imo
【 在 qlogic 的大作中提到: 】
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FROM 120.229.69.*
3楼
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iwannabe
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2022-07-17 21:59:29
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只看此ID
第二题:
令y=g(x),使得对于每个x,有唯一的y 令 xf(y)+yf(x)<=2
1、可以证明 g(g(x))=x,否则,如果存在 s,使得 g(g(s))!=s
1a、令x=g(s), y=s,则y!=g(x),所以 g(s)f(s)+sf(g(s)) > 2
1b、令x=s,y=g(s),则 sf(g(s))+g(s)f(s)<=2
矛盾,所以g(g(x))=x 对于所有正实数成立
2、可以证明 g(x)=x,否则,如果存在s,使得g(s)!=s
2a、令x=s,y=s,y!=g(x), 所以 sf(s)>1
2b、令x=g(s), y=g(x)=s,则 2>=g(s)f(s)+sf(g(s))>g(s)/s+sf(g(s))>=2sqrt(g(s)f(g
(s))), g(s)f(g(s))<1
2c、令x=g(s), y=g(s),y!=g(x),所以 g(s)f(g(s))>1,2b/2c矛盾
所以g(x)=x
3、所以对于所有x,xf(x)<=1,对于所有x!=y, xf(y)+yf(x)>2
xf(y)+yf(x)-xf(x)-yf(y)>0, (x-y)(f(x)-f(y))<0,所以f(x)单调递减
设x<y,则2 < xf(y)+yf(x) <xf(x)+yf(x),所以 2/(x+y)<f(x)<=1/x对所有y>x成立
所以 f(x)=1/x
感觉绕的很晕,但是确实听巧妙的
【 在 qlogic 的大作中提到: 】
--
修改:iwannabe FROM 183.95.251.*
FROM 183.95.251.*
4楼
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laofu
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2022-07-17 23:36:08
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只看此ID
这样是不是直接一点:
1、先证f(x)是严格单调减函数:
对任意 x' 小于 x,取y使得 xf(y)+yf(x)小于等于2成立,
则 x'f(y)+yf(x') 大于 2 ,否则对 y 有 x 和 x' 使得不等式成立。
所以 x'f(y)+yf(x') 大于 xf(y)+yf(x)
所以 f(x')>f(x)
2、如果存在某个 s 使 f(s)小于1/s,
对 x=s,存在 y=s,有 xf(y)+yf(s)小于2;
取 y'=s+(s^2)[1/s-f(s)]大于s,有 f(y') 小于 f(s) 小于 1/s
所以 xf(y')+y'f(x) 小于 sf(s)+{s+(s^2)[1/s-f(s)]}f(s)
小于 1+1-[1-sf(s)]^2
小于 2
即对应 x=s 有不只一个y使得不等式成立,矛盾。
所以对任意 x 有 f(x) 大于等于 1/x
3、如果存在 s 使得 f(s) 大于 1/s,
对任意y,sf(y)+yf(s) 大于 sf(y)+y/s
大于等于 s/y+y/s 大于等于 2
即不存在 y 使得不等式成立。
所以对任意 x 有 f(x)=1/x
【 在 iwannabe 的大作中提到: 】
: 第二题:
: 令y=g(x),使得对于每个x,有唯一的y 令 xf(y)+yf(x)<=2
: 1、可以证明 g(g(x))=x,否则,如果存在 s,使得 g(g(s))!=s
: ...................
--
FROM 120.229.69.*
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