函数的英文名是“function”，最早是由德国著名数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried ·Wilhelm· Leibniz，1646年7月1日—1716年11月14日）发明的，他首次使用了“function”这个英文（函数）表示“幂”，后来莱布尼茨用这个词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。总的来说通俗的意思就是“按照一定的功能规则运行的数”。

中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是中国清代数学家李善兰（1811—1882）在1859年和英国传教士伟烈亚力合译（Alexander·Wylie,1815—1887）《代数学》（又叫《代数学原理》或《代数初步》）一书时，首次把“function”译成“函数”的，他在书中解释说“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数。”（古人云：“函者，含而往也。”）翻译成现代文就是“但凡这个变量中含那个变量的就是‘函’”。

中国古代“函”字原意是“盒子”；“匣子”；“信件”，在现代汉语中有“规范”、“包含”、“隐含”、“含有”、“内含”、“内涵”等意思。它与“含”字通用，互为通假字，都有着“包含”的意思。

李善兰在《代数学》第七卷中给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”（因为“天”包含万物）万物中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思，它就是连接两个变数的事物，是对应关系及相关的两个变量的数。它也是将“一些”数按一定的条件规范成一个集合。同时函数是一种运算规则，是一个数集到另外一个数集的映射。再通俗一点说，“函数”指一个未知数的量随着另一个未知数的量的变化而变化，或者说一个变量中包含另一个变量。

维基百科：函数

函數這個數學名詞是萊布尼茲在1694年開始使用的，用來描述跟曲線相關的一個量，如曲線的斜率或者曲線上的某一點。萊布尼茲所指的函數現在被稱作可導函數，數學家之外的普通人一般接觸到的函數即屬此類。對於可導函數可以討論它的極限和導數，此兩者描述了函數輸出值的變化同輸入值變化的關係，是微積分學的基礎。中文的「函數」一詞由清朝數學家李善蘭譯出。其《代數學》書中解釋：「凡此變數中函（包含）彼變數者，則此為彼之函數」。

1718年，約翰·伯努利把函數定義為「一個變量的函數是指由這個變量和常數以任何一種方式組成的一種量。」
1748年，伯努利的學生歐拉在《無窮分析引論》一書中說：「一個變量的函數是由該變量和一些數或常數以任何一種方式構成的解析表達式」，
1775年，歐拉在《微分學原理》一書中又提出了函數的一個定義：「如果某些量以如下方式依賴於另一些量，即當後者變化時，前者本身也發生變化，則稱前一些量是後一些量的函數。」
19世紀的數學家開始對數學的各個分支進行形式化。維爾斯特拉斯倡議將微積分學建立在算術，而不是幾何的基礎上，這種主張較趨向於歐拉的定義。
函數的定義得以擴展之後，數學家便能對一些「奇怪」的數學物件進行研究，例如處處不可導的連續函數。這些函數曾經被認為只具有理論價值，遲至20世紀初時它們仍被視作「怪物」。稍後，人們發現這些函數在對如布朗運動之類的物理現象進行建模時有重要的作用。
到19世紀末，數學家開始嘗試利用集合論來進行數學的形式化。他們試圖將每一個數學物件都定義為集合。狄利克雷給出了現代正式的函數定義。在他的定義下，函數被視作數學關係的特例。然而對於實際應用的情況，現代定義和歐拉定義的區別可以忽略不計。
【 在 ericzeng 的大作中提到: 】
: 为什么代数里突然会出现“函数”这个概念呢？教小朋友的时候感觉好唐突，说不出来源和初衷
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