680啊，这是奔着清北去的

【 在 ld2020 的大作中提到: 】
高三住校，一周回来一天。平时空闲自己研究一下之前错题，周末把我的理解灌给孩子，能吸收多少算多少吧，尽人事听天命。各科情况：
语文目标120（实现目标挺难，书写潦草，作文拉垮，50分得35的样子。需要重点突破作文和表达）
数学目标135（看运气，投入时间精力最多，高二以来就不见成效）
英语目标140（还有提升空间的一科，第一次听口没满，三月2刷争取再赚1分。语法和作文差太多，20得12分左右，语法15分扣5分。重点突破语法与写作）
物理目标97（号称学的最好一科，投入最少。但每次考试都失误，不但没贡献，有时还拉分）
化学目标94（表现尚可，具体情况没跟踪，没精力也没兴趣关注化学，遂放弃参与，听之任之）
生物目标94（最纠结和不放心的一科，最近表现还算稳定，没有参与。计划在基因工程和遗传部分再加强辅导）

物理周末随口问了一下统练情况，才知道最后一题又错了。最后一题大意是有一飞船质量M1，速度v1，通过一次性喷射燃料后，实现垂直于原轨道平面的变轨（新轨道平面与原轨道平面垂直），变轨后质量变为M2，速度v2。第一问求喷出燃料的速度大小。显然用变轨前后动量向量差得动量变化，通过勾股定理可得动量变化大小，除以质量损失即可。但人家就硬是分两步，先让飞船停住，再垂直变轨，最后算出一个不伦不类的玩意儿。像类似问题屡屡出现，不知道该咋避坑。不问不说，好在过问了一下，拿出点儿时间通过数学分析证明了题目中的情景是做功最小的变轨方式，他才信服。

数学也是，统练一个选择题是22年全国卷真题。写出俩圆公切线中的一条即可，最简单的俩圆相减那条他没想到，次简单的一条x轴垂线，他也没写出，非得选了最难求解那条斜线，结果也没做对。像这种情况也不止一次，还是学得不扎实。
借着这道选择题，深入思考了一下，向量对称，旋转等情况，有所新得，记录一下。

向量a与b的点乘与b与a的叉乘，分别表示a顺时针转过b的方向角后所得新向量（模长相应变为|a||b|）的横坐标和纵坐标。由此可以推导或解释以下几个三角函数公式及其几何意义：
sin(a+b)=(cos(-b),sin(-b))x(cos(a),sin(a))=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)

sin(a-b)=(cos(b),sin(b))x(cos(a),sin(a))=sin(a)cos(b)-sin(b)cos(a)

cos(a+b)=(cos(-b),sin(-b))o(cos(a),sin(a))=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

cos(a-b)=(cos(b),sin(b))o(cos(a),sin(a))=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

对诱导公式的几何解释：
sin(pi/2+a)表示向量(cos(a),sin(a))逆时针转动pi/2后所得新向量的纵坐标，而该新向量与原向量垂直，故其纵坐标为原向量的横坐标，即为cos(a)，同理可以解释其余诱导公式。

对和差化积公式的推导与解释
sin(a)+sin(b)的几何意义是两个向量(cos(a),sin(a))与(cos(b),sin(b))之和向量的纵坐标，两个单位向量之和构成棱形对角线，该对角线向量的模为2cos((a-b)/2),方向角大小为(a+b)/2,所以sin(a)+sin(b)=2cos((a-b)/2)sin((a+b)/2)，其余同理可得。以前教给口诀，总记不住。我自己是这样记忆的：“和差化积2倍半，正余，余正，余余，正正，最后一项要把负号添”，奈何自己习惯的东西，别人不习惯。

其它：对极化恒等式的拓展及应用。把向量点积极化恒等式拓展到叉积可得(AxB)^2+(AoB)^2=(|A||B|)^2,又知AxB为三角形ABC面积的2倍，可得三角形面积的一种向量求法：2S=根号(|A||B|^2-(AoB)^2)，而根号下第二项可以由点积极化恒等式计算得到。该公式与海伦公式计算速度相当。
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