- 主题:请问这道取火柴题怎么解？
这题甲不能保证每轮（甲乙各取一次）取走固定的数量，不知道有没有简单的方法。笨办法是从剩余1根开始，能找出来当剩余数量为 1+8k 或者 3+8k 这样的形式时，先取的必输。所以甲第一轮要取3根。
【 在 wasabi 的大作中提到: 】
: 前几天版上有人发过的试卷中的一道题，还没有版友给出解答，恳请大家指点，题目如下：
: 有2022根火柴，甲乙两人轮流取，每次只能取1、3、4、7根，谁取最后一根谁输，甲先取。他要想保证获胜，第一次应该取几根？（写出所有可能）
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我说的是"没法"保证每回合的合计数，如果能保证问题就简单了。
我不知道有没有简单的办法能直接从1347推出“8”来，这里8=1+7是凑巧的。
笨方法，从1开始逐个确定必胜/必败局面，如果从某个数字能一步转移到某个已知的必败局面，那么这个数字对应的就是必胜局面；反之，如果一步转移只能到已知的必胜局面，则对应的是必败。
这道题因为拿最后一根的输，所以1是必败；所以2、4、5、8必胜；所以3必败；所以4、6、7、10必胜；然后可推出9、11必败。
至此可以判断1+8k和3+8k为必败，用数学归纳法很容易证明。
【 在 wasabi 的大作中提到: 】
: 请问 8k 的这个8是怎么得出来的？ 为何要确保没回合拿的合计数是8？ 因为取的可能性是1、3、4、7，如果第一人取了3根，那么另一个人无论如何都无法使得合计数为8，所以8这个数有什么意义么？
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不能这么简单推。这题如果把每步允许的数量改成1367，“循环节”=12;如果改成1237，“循环节”=4
【 在 fatum 的大作中提到: 】
: 最多可以取7根，先手取完后留8根可以保证后手不能直接赢，所以7+1=8是循环节（不理解这个名称的意义，但感觉这个游戏就是这么玩的）
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不是，先手的拿完之后如果能变成1+8k或3+8k就必胜，这题里先手拿3根之后=2019=8*252+3，留下必败局面给乙，甲必胜;但只拿1根后=8*252+5不是必败局面。
如果起始是2020，就是你说的拿1根或3根。
【 在 wasabi 的大作中提到: 】
: 谢谢指点，既然“至此可以判断1+8k和3+8k为必败，用数学归纳法很容易证明。”
: 那么是不是说，先手的人可以拿1个，也可以拿3个，都可以保证自己必胜？
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如果允许一次取5根的话，是的；但题目限制一次取的数目只能为 1、3、4、7。
【 在 wasabi 的大作中提到: 】
: 2022=252*8+1+5。所以如果先手拿了5根，剩下的局面也可以是 252*8+1 ，依然可以保证必胜，也就是说答案有两种，先取5根，或者先取3根都行？
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虽然结果对了，但这个推算过程是错的。甲取3根后剩2019，然后乙取3根，剩2016，这时如果甲为凑4、8，选择取1根，则剩余2015，乙取4，剩余2011，甲必败。
【 在 tengshiwei 的大作中提到: 】
: 甲拿3根是怎么算的呢。先江2022分成2000+22，2000可以被8和4整除，所以，乙开始拿、甲拿作为一个循环，甲凑4，8就行。最后剩22根，甲第一次可能拿1、3、4、7根，也就是可能会剩下21、19、18、15，因为最后一轮甲拿完一定要给乙剩1根或者3根，1、4、7凑8；3凑6或者10，感觉19最合适，先试算了19
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甲不能凑4；甲乙循环不能保证恰好消耗2000。
剩2001，乙取3，甲不能为了凑4取1，只能取3。
【 在 tengshiwei 的大作中提到: 】
: 甲取3根剩下2019，乙取3根，甲取7根，剩2009，（1）乙取1根，甲取7根，剩2001，按照凑4或者凑8，最后剩1根给乙。（2）乙取3，甲取3，剩2003，还是凑4或者凑8，最后剩3根。（3）乙取4，甲取4，剩余2001，凑4或者凑8，最后剩1根给乙。（7）乙取7，甲取1根，剩2001，凑4或者凑8，最后剩1根。就是把2000和19根分别对待。把19根放在前面算还是放在后面算。2000那个部分是乙拿、甲拿算一个循环。先把2000消耗掉。或者先算19的部分，剩2001或者剩下2003。
: 发自「今日水木 on iPhone 13 Pro Max」
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你还是没搞明白啊，甲不能凑4，凑4会留给乙必胜局面。
甲没有办法控制取走8的倍数，他只能保证4的倍数。乙取3，甲如果取1，后面乙每次取4，甲跟着取4，则取走的数量是 8k+4 这样的。你想保证合计取走2000或者2016这样，是办不到的。
【 在 wasabi 的大作中提到: 】
: 感觉你这个做法有道理，但是还不算太严谨。2000是可以被8和4整除，但是可以再多算一点，2016也可以被8和4整除，所以应该是让2016根去作为 乙先，甲后的循环根数，这样就剩下6根。 因为最后要给乙留下1根或3根才能确保甲获胜，又由于甲只能拿1,3,4,7这四种根数，所以甲第一次就只能拿3根，使得最后可以剩下3根留给乙。
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: 【 在 tengshiwei 的大作中提到: 】
: : 甲拿3根是怎么算的呢。先江2022分成2000+22，2000可以被8和4整除，所以，乙开始拿、甲拿作为一个循环，甲凑4，8就行。最后剩22根，甲第一次可能拿1、3、4、7根，也就是可能会剩下21、19、18、15，因为最后一轮甲拿完一定要给乙剩1根或者3根，1、4、7凑8；3凑6或者10，感觉19最合适，先试算了19
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方法对的，胜负条件弄反了。
【 在 lauhy 的大作中提到: 】
: 如果 当前 2 根， 甲必败（只有一种取法：甲1，乙1）
: 如果 当前 3 根，甲必胜（甲1，乙1，甲1）
: 如果 当前 4 根，甲必胜（甲4）
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