初中题吗


【 在 LiaoFLS 的大作中提到: 】
: 见附件[upload=1][/upload]
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FROM 60.27.234.233

这题是一个经典的完全四边形+调和分割 以及密克点的构型题
在这个构型下有七八条 很经典的结论（见附件2和3）
这题就是用到其中一个调和分割的经典结论

先证明一个引理1：
见附件1里的图
完全四边形ABCDEF 其中BCEF四点共圆 设此圆圆心为O
过A点做圆O的两条切线AP AQ G和H点为AD与圆O的两个交点 过A作AK⊥PQ 显然有AKO 三点共线

step1（先找密克点）：
在AD延长线上取点M 使得AD*AM=AP^2
显然有AD*AM=AB*AC=AF*AE 于是M即为圆BCD和圆DEF的另一个交点 M点就是完全四边形ABCDEF的密克点 对密克点不熟的可以自行搜索
密克点是圆BCD 圆DEF 圆ACF 圆AEB 四个圆的交点

step2（证明PDQ三点共线）：
由AP^2=AQ^2=AD*AM
∴∠ADP=∠APM ∠ADQ=∠AQM
∵∠CMH=∠CBE=∠CFE=∠EMH
∴∠CME=2∠CBE=∠COE （AM平分∠CME）
∴CMOE四点共圆
∴∠OME=∠OCE=∠OEC
∴∠OMC+∠OEC=∠OMC+∠OCE=∠OMC+∠OME=180°结合上面结论 AM平分∠CME
∴OM⊥AM
又∵OP⊥AP  OQ⊥AQ
∴APMOQ 5点共圆
∴∠ADP+∠ADQ=∠APM+∠AQM=180°
∴PDQ三点共线
注：这里也可以不用倒角，直接用塞瓦定理在圆中的形式即（PB/BF)*(FQ/QE)*(EC/CP)=1 得出PQ，BE，CF 三线共点 进而得到PDQ三点共线 用这个方法可以直接跳过step1 不用去找那个密克点M 过程会比较简单

step3（证明G，H两点调和分割线段AD 也就是ADGH四点形成调和点列）：
∵AP^2=AG*AH=AK^2+PK^2  ①
AD^2=AK^2+DK^2 ②
①-② AG*AH-AD^2=PK^2-DK^2=(PK+DK)(PK-DK)=PD*DQ=GD*DH=（AD-AG）（AH-AD）=AD*AH-AD^2-AG*AH+AD*AG
∴2AG*AH=AD（AH+AG）
∴2=AD/AG+AD/AH=AG/AG+AH/AH
∴（AD-AG）/AG=(AH-AD)/AH
即GD/AG=DH/AH
这表明G和H两点调和分割线段AD（这个结论称作引理1）
注：这里的这个圆内接四边形PHQG是最常见的 2切线1割线形成的调和四边形
这里还可以直接用调和四边形性质简化证明：
HD/DG=S△PHQ(面积）/S△PGQ（面积）=PH*QH*sin∠PHQ/PG*QG*sin∠PGQ（对角互补加上调和四边形性质PH/PG=QH/QG)=PH^2/PG^2=AH^2/AP^2=AH^2/AG*AH=AH/AG
直接得出引理1

step4
回到你这道题的原图
设直线MN与圆0交于XY两点（其中X点位于MN之间）
由上述引理1 可知 X，Y两点调和分割线段NM
又由P为线段NM中点
∴PE^2=PN^2=PX*PY(调和点列基础性质，很容易证明，具体过程我就不写了）
∴PE为圆O切线
∴OE⊥PE
QED

btw：这个构型下的若干经典结论 我贴到附件2和3里 有兴趣的话可以逐个自行证明
引理1 就是那个经典结论2
引理1的证明过程中其实 很多都已经证明完了  
这题对于不熟悉完全四边形和密克点的初学者来说 可以是一道IMO第1或第4题难度的题目 当然 现在的IMO肯定不会出这样的题 因为完全四边形和密克点构型的题目已经完全研究透了 很难出来有新意学生完全没练过的构型
【 在 LiaoFLS 的大作中提到: 】
: 见附件

[upload=1][/upload]


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修改:calculus2000 FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.*

塞瓦定理证共线+调和四边形证调和分割 倒也不复杂
就是我两个备注里的内容
加起来10多行就写完了

【 在 LiaoFLS 的大作中提到: 】
: 我去，我就随手一画，没想到这么复杂
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FROM 111.199.185.*

擦 你是老师么？

佩服！  
  
【 在 calculus2000 (不怕！有兵在) 的大作中提到: 】
:  这题是一个经典的完全四边形+调和分割 以及密克点的构型题
:  在这个构型下有七八条 很经典的结论（见附件2和3）
:  这题就是用到其中一个调和分割的经典结论
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FROM 171.41.23.*