对边互不平行的四边形ABCD内接于圆，ABCD的两组对边延长线分别交于M、N，ABCD的对角线交于E，O为ABCD外接圆的圆心
求证：
①E是△OMN的垂心
②∠MON必为锐角

图非常的简单 就不给了 自己画吧
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为什么E和H在RS那条线上？
还是要说明才行 否则你这引理不能直接用
换一种说法 那就是你得证明EH那条线和EL那条线是两条切点弦
这就跟我前面说的 是一样的

就用你的图
过M点做圆的两条切线 切点为F和G 你的那个引理能保证FEG三点共线是没问题的
但是不能保证N在FEG这条直线上
要证明这四点共线 还得需要梅涅劳斯 或者调和四边形的性质
btw:这题还有 不需要调和的证法
纯用等差幂线定理 通过各种边的关系证明

简单写一下：
如图：AB与CD交于M AD与BC交于N
设M点对圆O的幂为M'=MA*MB N和E对圆O的幂为N'=NC*NB  E'=-EA*EC

在ME延长线上取一点X使ME*MX=MA*MB=M'，显然有A,B,X,E共圆，结合A,B,C,D共圆，倒角知A,M,C,X四点共圆，那么ME*EX=EA*EC 即ME（MX-ME）=EA*EC  
∴ME^2=M'+E'  ①
同理NE^2=N'+E' ②

在MN上取一点Y，使得M，A，D，Y四点共圆 易知N，C，D，Y也四点共圆
∴MY*MN=MD*MC=MA*MB  NY*NM=ND*NA=NC*NB
两式相加得出：
MN^2=M'+N' ③
易知OE^2=r^2+E' ④ （r为圆O半径）

由①②③④可以得出：MO^2-NO^2=ME^2-NE^2 以及NM^2-OM^2=NE^2-OE^2
由等差幂线定理 得出ME⊥NO 以及 OE⊥MN
∴E为△OMN垂心
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 不用，E H都在引理RS那条线上。两点决定一线。
: 两组调和点列证明略烦，一组你在其它题证明过，另一组用塞瓦加梅氏可证。
: 发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
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