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- 主题:请教一道平面几何题
- 题见附件，感觉现在小朋友的题越来越难了。
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FROM 223.104.68.* - 如图：
设AD为BC边上的高
S和T分别为圆XNE和圆YMF的外心 I和J为DF和DE中点
∵∠EDC=∠BAC=∠EXN
∴XNDE共圆 圆心为S
同理YMDF共圆 圆心为T
由等差幂线定理 直角三角形斜边中线等于斜边一半 以及垂径定理的逆定理
易知 SI∥AD SJ⊥DE TJ∥AD TI⊥DF
由中位线定理
易知IJ∥EF
由垂心基本性质
易知AD平分∠FDE
∴∠IPD=90°-∠IDP=90°-∠JDQ=∠JQD
∴SIJT为等腰梯形
由已知条件 K为AH中点，AH⊥EF
∴∠SUD=∠IVA=∠FLA=90°-∠KAD=90°-∠KDA
∴DK⊥ST
∴K点在圆S与圆T的根轴上
∴KX*KE=KF*KY
∴XFEY共圆
∴∠FXE=∠FYE
∴∠EYM=∠FXN
QED
这题是一道联赛二试难度的题
你这道题的这个基础构型还有一个图形看似很简单的经典结论
就是用这道题的原图
擦去X和Y两个点 同时擦去K点和H点
只留下E和F以及他们在BC上的两个射影M和N点
已知：△ABC中BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，M和N为E点和F点在BC上的射影，FM和EN交于点O
求证：AO⊥BC
这是一道CMO题目
感兴趣的可以做一下
看似简单 实际没那么容易
【 在 cplusplus 的大作中提到: 】
: 题见附件，感觉现在小朋友的题越来越难了。
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修改:calculus2000 FROM 111.199.191.*
FROM 111.199.191.* - 验证无误，十分感谢！
真厉害！
对了，原文中应该有个笔误
∵∠EDA=∠BAC=∠EXN
应该是∠EDA应该是∠EDC
【 在 calculus2000 的大作中提到: 】
: 如图：
: 设AD为BC边上的高
: S和T分别为圆XNE和圆YMF的外心 I和J为DF和DE中点
: ...................
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FROM 223.104.77.* - 牛逼，这题imo水准了。
【 在 cplusplus 的大作中提到: 】
: 题见附件，感觉现在小朋友的题越来越难了。
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: https://static.mysmth.net/nForum/att/XiTiYanJiu/4295/260/large "单击此查看原图"](https://static.mysmth.net/nForum/att/XiTiYan
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发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
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FROM 101.90.32.68