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- 主题:来一道伪内切圆（曼海姆圆）的题目
- 友情提示，这题很难
谨慎挑战
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FROM 111.199.190.* - I为EF中点这个结论 可以这样解决：
MF和ME延长线 交外接圆于F'和E'
易知E'和F’ 分别为弧AC和 弧AB中点
于是CF'和BE' 为角分线 且交点为I
直接帕斯卡定理 知道EFI共线 由AE=AF 进而I为EF中点
进而知道FBMI 和 IMCE 分别四点共圆
于是IM平分∠BMC
设AI和劣弧BC交于A' MI和优弧BAC交于M'
A’M’垂直平分BC（对径点）
延长FE和BC交于R 由梅涅劳斯定理易知FB/EC=BR/CR
由圆幂定理易知：FB^2/EC^2=BM^2/MC^2(这里有要用到一组平行线）
∴BM/MC=BR/CR
由外角平分线定理:MR为外角平分线 即MR⊥MI（A'MR 三点共线）
通过几组四点共圆和一组平行线 倒角易知∠EPM=∠CQM
∴RPQM共圆
由MR垂直MI 可知∠QPR=90°
QED
【 在 LiaoFLS 的大作中提到: 】
: 还行，主要是关键地方以前在另一个版面专门讨论过。我试试能不能直接开个传送门
: [upload=1][/upload]
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修改:calculus2000 FROM 111.194.201.*
FROM 111.194.201.* - 伪内切圆这个模型下 确实有非常多的等角性质
2019imo p6那道题 也跟伪内切圆有关 当然那道题没那么直白 是从内切圆引入的
EIF三点共线这个性质 本身就是一个定理 俗称沢山引理
曼海姆圆和费尔巴哈圆（9点圆）
是除了 外接 内切 旁切 垂心组这四组基本圆以外最有意思的圆了
【 在 LiaoFLS 的大作中提到: 】
: 网上有个高联难度平面几何100题，第81题用的是你这个方法证明BFIM四点共圆。
: 曼海姆圆本质上是“过已知圆的圆外两点，作与该圆相切的圆”的一种特殊情况，特殊在切线BF与切线CE的交点A刚好在圆BMC上。
: 另外，本题中存在很多的角平分线，I是ABC内心，MI平分∠BMC，MF平分∠BMA，ME平分∠CMA；曼海姆圆也是I、A两点的一个阿波罗尼斯圆，FD平分∠AFI，ED平分∠AEI，MD平分∠AMI，总之就是和角平分线干上了，需要充分利用。
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FROM 111.194.201.* - 都是一个思路
要么上帕斯卡 暴力证明3点共线
要么上鸡爪圆证明交点是内心
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 沢山引理的证明很有意思。
: 曼海姆圆是特殊的场景。
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FROM 111.194.201.*