- 主题:来一道几何题
锐角△ABC AB≠AC I为内心 O为外心 圆I与BC切于D点
M和N分别为弧BC和弧BAC中点 NI交圆O于另一点E 过I做BC平行线交MN于F
求证：EDF三点共线
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FROM 111.194.201.*
连接OI并延长与圆O交于P和Q两点
显然有MN为圆O直径且MN⊥BC 即MN∥ID
设圆O半径为R 圆I半径为r IO长度为d
∵MN∥ID
∴∠MID=∠MNI
由圆幂定理 以及欧拉定理
NI*IE=PI*QI=（R+d）（R-d）=2Rr=MN*ID
∴△MNI∽△IDE
∴∠IED=∠NMI=∠FMI
由IF∥BC 以及MN为圆O直径 易知
FIEM四点共圆
∴∠IEF=∠FMI
∴∠IED=∠IEF
∴EDF三点共线
QED
你这个证明本质上跟欧拉定理是一样的
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 由垂径定理MN为直径，MN⊥BC，又IF//BC => IF⊥MN。又ME⊥NE，所以IFME四点共圆。
: 要证EDF共线，只要证明∠IFD=∠IFE，而∠IFE=∠IME=∠ANE。
: 只要证明∠IFD=∠ANE。
: ...................
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修改:calculus2000 FROM 111.194.201.*
FROM 111.194.201.*
AF AE这两条线不普通 这俩是∠BAC里的两条等角线
E点就是A-伪内切圆切点
AF这条线跟圆I的交点是点D关于点I的对称点（对径点）
AF跟BC的交点是点D关于MN的对称点（A侧旁切圆在BC上的切点）
关于这两条线还有n多性质
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 用三角可以暴力计算。不妨设c>b。
: GD=(a+c-b)/2-a/2=(c-b)/2, tan∠IFD=ID/GD=2r/(c-b)。
: IA=r/sin(A/2), NA=2R*sin∠NMA=2R*sin(90-1/2A-B)=2R*cos(1/2A+B)。
: ...................
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FROM 111.194.201.*