- 主题:看到有个数学题，挺有意思
有根号有对数，不容易证明单调。
不如取 f(x)=(1+x)[ln(1+x)]^2 - (1-x)[ln(1-x)]^2, f(0)=0;
f'(x)=[ln(1+x)]^2 + 2ln(1+x) + [ln(1-x)]^2 + 2ln(1-x), f'(0)=0;
f''(x)=[2ln(1+x)+2]/(1+x) - [2ln(1-x)+2]/(1-x)
=2[(1-x)ln(1+x) - (1+x)ln(1-x) -2x]/(1-x^2)
>2(x^3)/(1-x^2)>0
所以 f'(x) > 0，所以 f(x)>0
(1+x)[ln(1+x)]^2 - (1-x)[ln(1-x)]^2 > 0，
所以 sqrt(1+x)ln(1+x) > sqrt(1-x)ln[1/(1-x)]，
然后取x=1/5。
【 在 knup 的大作中提到: 】
: 构造函数f（x）=√1+xln（1+x）+√1-xln（1-x）
: 这函数在（0,1) 单调递增 且f（0）=0
: 取x=1/5就是要证的这个不等式
: ...................
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直接暴力算，计算量也不算大：
等价于证明 1.2^[sqrt(1.5)-1] > 1+1/24
等价于找到一个 x，满足
(1) sqrt(1.5)-1 > 1/x ,
(2) 1.2 > (1+1/24)^x
取x=4，显然不满足（1）；x=5，显然不满足（2）；
x=4.5，(1+1/24)^9 展开，加到第4项时 > 1.443 > 1.2^2 ，不满足（2）
x=4.4，(5.4/4.4)^2=729/484 > 1.5 不满足 （1）；
x=4.45，(1+1/24)^8.9 展开，加到第5项时 =1.4381，后面的加起来不超过 0.0005，可以确定满足 (2);
同时(5.45/4.45)^2=(109/89)^2=11881/7921<1.5
所以4.45可以。
【 在 iwannabe 的大作中提到: 】
: 折腾了一上午
: (6/5)^(sqrt(3)) > (5/4)^(sqrt(2))
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f(x)=sqrt(x)lnx/(x-1) x > 1
这个构造，拐弯拐得太大了，没练过奥数的不可能想得到。
【 在 iwannabe 的大作中提到: 】
: 看到一个比较巧妙的证明
: x>1 ln(x) > 1-1/x
: f(x)=2(x-1)-(x+1)ln(x) f'(x)=1-1/x-ln(x) f(1) = 0, 所有 x>1=>f(x) < 0
: ...................
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