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- 主题:来一道越南的题
- 不等边锐角△ABC的外心为O，垂心为H，AH再次交圆O于D点，AC、AB的中点分别为E、F，过H作HE的垂线交BC于K，DK再次交圆O于Y，BK的中垂线与BY交于点I。求证：O、E、Y、I四点共圆
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修改:knup FROM 111.199.189.*
FROM 111.199.190.* - 取H关于E的对称点G
显然 AHCG是平行四边形
由此得出 CG∥AH⊥BC GA∥CH⊥AB
结合已知条件HE（即HG）⊥LK
易知
LAHG四点共圆
KHGC四点共圆
∴∠HGL=∠BAH（外角 内对角）
∠HGK=∠HCK=∠HCB（同弧 圆周角）
由垂心性质 显然∠BAH=∠HCB
∴∠HGL=∠HGK
由HG⊥LK HG=HG
∴△LGH≌△KGH
即HK=HL
这个G 其实就是B在外接圆上的那个对径点
有垂心H 有AC边中点E 马上就能想到要取B的对径点 也就是G来
这是垂心很基础的一个性质
这个构型与西姆松线的那个构型极其相似
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 我用解析法计算可以得到HK=HL，哪位英雄有更好的解法？
: 发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
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修改:knup FROM 111.199.189.*
FROM 111.199.189.* - 另一个证法 见附件
这里有个笔误 第二行是 V、E、H共线 不是V、F、H
【 在 knup 的大作中提到: 】
: 不等边锐角△ABC的外心为O，垂心为H，AH再次交圆O于D点，AC、AB的中点分别为E、F，过H作HE的垂线交BC于K，DK再次交圆O于Y，BK的中垂线与BY交于点I。求证：O、E、Y、I四点共圆
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修改:knup FROM 111.199.189.*
FROM 111.199.189.* - 目前看到的几个解法里完全用不到已知条件里的另一个中点（F)这个条件
已知里有2边中点 有垂心 有外心（暗示 欧拉线）
我强烈怀疑这题有用欧拉线的比较简洁的证法
有兴趣的可以试试
【 在 S20060040 的大作中提到: 】
: 一位竞赛老师的解答，46老师做出来的
: [upload=1][/upload]
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修改:knup FROM 111.199.189.*
FROM 111.199.189.*