水木社区手机版
- 主题:请教这个初中方程组求解思路错在哪？ (转载)
- 【 以下文字转载自 PreUnivEdu 讨论区 】
发信人: Molamola (Langolier), 信区: PreUnivEdu
标 题: 请教这个初中方程组求解思路错在哪？
发信站: 水木社区 (Sat Jul 19 18:53:09 2025), 站内
附件中有完整的题目和娃的解答，我这边再简要叙述下：
已知关于x, y的方程组只有一组实数解，求a的值。
ax - y - 2a - 10 = 0 (1)
x - √( y - 2 ) = 0 (2) (y-2)开根号不太会编辑符号，将就下吧
娃这个题只解出了a = 12，而标准答案是：a <= - 6 或 a = 12，我试了下 a = - 6 确实符合题意（所以应该是娃的答案错了），但我看完她的解题思路后又看不出她的思路错在哪，请大家帮忙看下找找问题，给点指导。
--
FROM 117.143.173.* - sqrt(y-2)=(y+10)/a + 2,画左右图像，右边过点（-10，2），斜率1/a, 相切或-2/(2+10)<=1/a<0,得到a=12或a<-6.
【 在 Molamola 的大作中提到: 】
: 【 以下文字转载自 PreUnivEdu 讨论区 】
: 发信人: Molamola (Langolier), 信区: PreUnivEdu
: 标 题: 请教这个初中方程组求解思路错在哪？
: 发信站: 水木社区 (Sat Jul 19 18:53:09 2025), 站内
:
: ..................
发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
--
FROM 183.192.102.156 - 还有一种增根你没考虑，即-a*sqrt(y-2)=y+10+2a
【 在 Molamola 的大作中提到: 】
: 【 以下文字转载自 PreUnivEdu 讨论区 】
: 发信人: Molamola (Langolier), 信区: PreUnivEdu
: 标 题: 请教这个初中方程组求解思路错在哪？
: 发信站: 水木社区 (Sat Jul 19 18:53:09 2025), 站内
:
: ..................
发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
--
FROM 183.192.102.156 - 为什么原题消去y保留x就能讨论出正确结果，而消去x保留y（娃的做法）却不行，增根不都是x=sqrt(y-2)两边平方后扩大了x和y的定义域而产生的吗？为啥换个变量分类讨论就行不通了，这里面我没想明白。
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 还有一种增根你没考虑，即-a*sqrt(y-2)=y+10+2a
: 发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
--
FROM 117.143.173.* - 可以看到 a=-6 时 y 就需要 <= 2了，所以情况3推导有些问题。
另外感觉可能核心出现在把 a 平方那步，丢失了左边小于零的情况
【 在 Molamola 的大作中提到: 】
: 标 题: Re: 请教这个初中方程组求解思路错在哪？ (转载)
: 发信站: 水木社区 (Sun Jul 20 15:54:04 2025), 站内
:
: 为什么原题消去y保留x就能讨论出正确结果，而消去x保留y（娃的做法）却不行，增根不都是x=sqrt(y-2)两边平方后扩大了x和y的定义域而产生的吗？为啥换个变量分类讨论就行不通了，这里面我没想明白。
:
: 【 在 hound 的大作中提到: 】
: : 还有一种增根你没考虑，即-a*sqrt(y-2)=y+10+2a
: : 发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
:
: --
:
: ※ 来源:·水木社区 mysmth.net·[FROM: 117.143.173.*]
--
FROM 124.65.131.* - 已经搞明白了，结论：无论消去x还是y都可行。但是需要意识到增根是方程组的增根，并不是单纯x或y的增根。单纯讨论y的增根容易遗漏掉对x的约束讨论，进而遗漏情形，所以各种情形的讨论都应同时有x和y的约束讨论。
【 在 Molamola 的大作中提到: 】
: 为什么原题消去y保留x就能讨论出正确结果，而消去x保留y（娃的做法）却不行，增根不都是x=sqrt(y-2)两边平方后扩大了x和y的定义域而产生的吗？为啥换个变量分类讨论就行不通了，这里面我没想明白。
--
FROM 117.143.173.* - 纯代数方法很容易出错。这题数形结合最合适。
【 在 Molamola 的大作中提到: 】
: 已经搞明白了，结论：无论消去x还是y都可行。但是需要意识到增根是方程组的增根，并不是单纯x或y的增根。单纯讨论y的增根容易遗漏掉对x的约束讨论，进而遗漏情形，所以各种情形的讨论都应同时有x和y的约束讨论。
:
--
FROM 125.33.203.* - y=x^2+2 （x≥0） 注意这不是一根完整的抛物线
y=ax-2a-10
联立得x^2-ax+（2a+12）=0 （x≥0）
情形1：△=0（相切）解出 a=12或a=-4（舍去 因为此时的那个唯一的根小于0）
情形2：
△＞0 ①
两根之积小于0 即 2a+12＜0 ②
①和② 保证了直线跟抛物线（完整的那根 也就是定义域为x∈R） 有2个交点 并且两个交点横坐标一正 一负
解出 a＜-6
情形3：
△＞0 ①
直线y=ax-2a-10 过（0,2） 即a=-6 ②
两根之和小于0 即a＜0 ③
①②③保证了直线跟抛物线（完整的那根） 有两个交点 其中一个交点的横坐标为0 另一个交点的横坐标小于0
解出a=-6
综上三种情形a的取值范围为： a=12 或 a≤-6
这题的本质是在考 一元二次函数y=x^2-ax+（2a+12） 与x轴的非负半轴只有一个交点 求a的取值范围
【 在 Molamola 的大作中提到: 】
: 【 以下文字转载自 PreUnivEdu 讨论区 】
: 发信人: Molamola (Langolier), 信区: PreUnivEdu
: 标 题: 请教这个初中方程组求解思路错在哪？
: ...................
--
修改:knup FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.* - 一个成年人连 sqrt 都不会使用
就别辅导娃了
【 在 Molamola 的大作中提到: 】
: 发信人: Molamola (Langolier), 信区: PreUnivEdu
: 标 题: 请教这个初中方程组求解思路错在哪？
: 发信站: 水木社区 (Sat Jul 19 18:53:09 2025), 站内
: ...................
--
FROM 36.112.186.* - 这题就只能消去y 保留x
原因很简单
题目中那条抛物线的一部分 也就是y=x^2+2 用x≥0 这一个限定条件就描述清楚了
在这个限定条件下 自然而然的有 y≥2
你如果非得用y的取值范围去描述这条抛物线的一部分 根本没法描述
y≥2根本描述不了是哪一部分的抛物线还是全部抛物线
最后还得要回归到用x≥0这里来限定
如果这条抛物线是横躺着的 开口向左或者向右的抛物线的一部分 那就是要消掉x用y去限定
【 在 Molamola 的大作中提到: 】
: 为什么原题消去y保留x就能讨论出正确结果，而消去x保留y（娃的做法）却不行，增根不都是x=sqrt(y-2)两边平方后扩大了x和y的定义域而产生的吗？为啥换个变量分类讨论就行不通了，这里面我没想明白。
--
修改:knup FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.*