H为锐角△ABC内一点
求证：HB*HC*BC+HA*HC*AC+HA*HB*AB=BC*AC*AB当且仅当H为△ABC的垂心
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修改:knup FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.*

反过来也不难
但需要比较巧妙的构造

我简单说一下
如图
过H做平行四边形HEBC 过A做平行四边形AFBC 显然AFEH也是平行四边形
∴CH=BE AH=EF AF=EH=BC BF=AC

四边形AFEB中
由托勒密不等式：AF*EB+EF*AB≥AE*BF
即HB（BC*CH+AH*AB）≥AE*AC*HB（等量代换完两边同时乘以HB）
即BH*CH*BC+AH*BH*AB+AH*CH*AC≥AE*AC*HB+AH*CH*AC(两边同时加AH*CH*AC）
即BH*CH*BC+AH*BH*AB+AH*CH*AC≥AC（AE*HB+AH*CH）  ①

四边形AEBH中
由托勒密不等式：
AE*HB+AH*CH=AE*HB+AH*EB≥AB*EH=AB*BC  ②

由①和②
BH*CH*BC+AH*BH*AB+AH*CH*AC≥AC*AB*BC

等号成立等价于 AFEH四点共圆（①等号成立条件）且 AEBH四点共圆（②等号成立条件）
即AFEBH五点共圆

∵AFEH为平行四边形
∴AFEBH五点共圆 等价于AH⊥EH EB⊥AB
即BH*CH*BC+AH*BH*AB+AH*CH*AC=AC*AB*BC 当且仅当H为△ABC垂心
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 如果H垂心，4个三角形的外接圆半径相同，由abc=4RS很容易推导。
: 但反过来貌似比较艰难，旁观高手。
: 发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
: ...................
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修改:calculus2000 FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.*