△ABC外接圆为 圆O
D和E为弧BC（不含A一侧）上的两点 满足∠BAD=∠CAE  AD和BC交于F
G为BC上一点 满足CG=BF
H为AE（或者AE延长线）上一点 满足AH=AF
M为弧DE（不含A一侧）中点
求证：MGEH四点共圆
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修改:calculus2000 FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.*

设AM与BC交于N点 显然有AM为∠BAC平分线 设∠BAD=∠CAE=α  显然有 △ACE∽△AFB ∴AC/AH=AC/AF=AE/AB ∴AC*AB=AH*AE  又显然有△ANC∽△ABM ∴AB/AN=AM/AC ∴AC*AB=AN*AM=AH*AE ∴MNHE四点共圆  又显然∠CGE=∠BFD=∠ABC+α(△BFD≌△CGE)   ∠NME=∠AME=∠ABE=∠ABC+α  ∴∠CGE=∠NME即MNGE四点共圆 ∴MNGHE 五点共圆  Q.E.D
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 易得△BDF≌△CEG，所以DF=EG。
: BM=MC，BF=CG，所以FM=GM，又DM=EM，所以△DFM≌EGM，∠DFM=∠EGM。
: 连接MA，易得△FAM≌HAM，所以∠DFM=∠MHE，进而∠EGM=∠MHE，所以MGEH四点共圆。
: ...................
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FROM 111.199.185.*