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- 主题:一种很罕见的证明四点共圆的方式
- 如图
△ABC AB＞AC ∠A的平分线交BC于D △ABD外接圆为圆O1 △ACD外接圆为圆O2
P为DA延长线上一点（注意字母顺序 A位于P和D之间）
过P做圆O1切线 切点为Q
同样过P做圆O2的切线 切点为R
求证BCRQ四点共圆
这结论是一道比较复杂成题里关键的一步引理
正常是用共边定理（面积比）导出QB RC AD三线共点
这个图 辅助线都画出来了 有一个很巧妙很简单 但很不常见的证法可以三两步就证出来共圆
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修改:calculus2000 FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.* - G为∠BAC角分线AD与△ABC外接圆交点 GB∩PQ=M CG∩PR=N
显然∠GBC=∠BAG BG与圆ABD相切
同理CG与圆ACD相切
G和P在圆ABD和圆ACD根轴上
∴PQ=PR BG=CG
切线长相等 显然有MQ=MB NR=NB
马上得出四边形PMGN四个角上有四个等腰三角形
于是四边形PMGN 对边和相等
∴PMGN一定有内切圆
设这个内切圆圆心为I
注意PMGN四个角的那4个已经证出的等腰三角形
根据等腰三角形三线合一性质顶角角分线为底边中垂线 马上可以得出4组垂直平分线来
于是IQ=IR=IB=IC 这个I点就是BCQR的外接圆圆心
∴BCQR四点共圆
【 在 calculus2000 的大作中提到: 】
: 如图
: △ABC AB＞AC ∠A的平分线交BC于D △ABD外接圆为圆O1 △ACD外接圆为圆O2
: P为DA延长线上一点（注意字母顺序 A位于P和D之间）
: ...................
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修改:calculus2000 FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.* - 我在想这个共圆有没有常规一些的证明方式
所谓常规 就是对角互补或者托勒密定理这种
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 三线共点也可用两次梅涅劳斯
: 发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
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FROM 111.199.185.* - 讲讲你的思路
【 在 hound 的大作中提到: 】
: 三线共点也可用两次梅涅劳斯
: 发自「今日水木 on iPhone 13 Pro」
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FROM 111.199.185.* - 想出了一个比较常见的证法
就用原贴的图 图中EF∥BC
设圆ABD的半径为R1 圆ACD的半径为R2
R1=BD/sin∠BAD R2=CD/sin∠CAD R1/R2=BD/CD
显然有 AQ/DQ=AP/PQ=AP/PR=AR/DR
由角平分线定理 BD/AB=CD/AC
相乘得(AQ*BD)/(DQ*AB)=(AR*CD)/(DR*AC) ①
圆内接四边形ADBQ中 托勒密定理：
BQ*AD=AB*DQ-AQ*BD
同理 CR*AD=AC*DR-AR*CD
由①以及合比定理
∴BQ/CR=（AB*DQ）/(AC*DR)=(BD*DQ)/(CD*DR)
BQ/CR=2R1sin∠QDB/2R2sin∠RDC
∴sin∠QDB/sin∠RDC=DQ/DR
由平行线内错角相等 以及在三角形DEF中 由正弦定理 DF/DE=sin∠QDB/sin∠RDC=DQ/DR
∴△DEF∽△QDR
∴∠RQD=∠EFD=∠RDC
∴∠BQR+∠BCR=∠RQD+∠BAC/2+∠DCR=∠RDC+∠DRC+∠DCR=180°
Q.E.D
【 在 calculus2000 的大作中提到: 】
: 我在想这个共圆有没有常规一些的证明方式
: 所谓常规 就是对角互补或者托勒密定理这种
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修改:calculus2000 FROM 111.199.185.*
FROM 111.199.185.*