锐角△ABC M为BC中点  I为内心 L为外接圆弧BAC（注意是含A的弧）中点 过M平行BI的直线交AB于E 交LB于P
过M平行CI的直线交AC于F 交LC于Q
圆PMQ和圆EMF的另一个交点（除M）为D
求证：I，M，D三点共线

别把这题想的太难 我亲测这题就是中考难度 一点不超纲




画图的时候发现 圆BIC和圆LPQ是相切的
如果用这个模型要求证明这个两圆相切的结论 那应该就是一道不错的竞赛题
有兴趣 有能力的可以挑战一下
虽然是画图偶然发现的 但不单纯是直觉 是能证出来的真命题
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修改:calculus2000 FROM 111.199.185.*
FROM 199.230.105.*

连接AI并延长 与圆ABC交于N点 与圆BIC（△ABC的鸡爪圆）交于H点
熟知H点为A侧旁切圆的旁心 N点为圆BIC的圆心
显然有LMN共线  延长LN与圆LPQ交于K点 同样熟知K为圆PMQ（△LPQ的鸡爪圆）的圆心（∵M是△LPQ的内心）
设DM中点为R
下面证明这个R即是圆BIC和圆LPQ的切点

由EB=BM=CM=CF 可知ME MQ的中垂线就是∠ABC和∠ACB的外角平分线
即H也是圆EMF的圆心
由DM是圆H和圆K的根轴
∴KH垂直平分DM 即 KHR三点共线且HR⊥IR
又IH为圆N的直径
∴IBRHC五点共圆

由前面证明中的结论得知
四边形PMQD为调和四边形（PM/QM=PD/QD）
∴PQ为△MPD和△MQD的共轭中线（即中线PR和中线QR的等角线）
∴∠PRQ=∠PDQ+∠DPR+∠DQR=∠PDQ+∠MPQ+∠MQP=2（180°-∠PMQ）=180°-∠L
∴LPRQ四点共圆
∴R点为圆BIC和圆LPQ的公共点

由射影定理 以及RN=NI=BN（圆BIC的半径）
RN^2=BN^2=MN*NL
∴∠RIN=∠IRN=∠RLN（即LRNI四点共圆）

过R点做圆LPQ的切线 在切线上任取一点S
由之前的证明结论DMI三点是共线的
有∠SRH=∠SRK=∠RLK=∠RLN=∠RIN
∴RS也是圆BIC的切线
即圆BIC与圆LPQ相切 切点为DM的中点R
Q.E.D

【 在 calculus2000 的大作中提到: 】
: 锐角△ABC M为BC中点  I为内心 L为外接圆弧BAC（注意是含A的弧）中点 过M平行BI的直线交AB于E 交LB于P
: 过M平行CI的直线交AC于F 交LC于Q
: 圆PMQ和圆EMF的另一个交点（除M）为D
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FROM 199.230.105.*