等腰△ABC中 AB=AC  I为内心 过C，I和AI相切的圆交 △ABC外接圆于D 交AC于Q M为AB中点 N为CQ中点
求证：BC MN AD三条直线交于一点

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FROM 199.230.105.*

延长AI 交圆ABC于E 交BC于F 显然AF为圆ABC的直径 AF垂直平分BC
延长MN与BC交于P点
重新定义D点为PA与圆ABC的交点 只要证明D也在圆QIC上即可
连接DE与BC交于G
设∠BAC=A  ∠ABC=∠ACB=C
由∠IQC=∠IAQ+∠AIQ=A/2+C/2  ∠QCI=C/2
得知∠QIC=90° 即QC为圆QIC的直径 N点为圆心

显然有DG为∠BDC内角平分线 以及DP为∠BDC外角平分线
∴BG/CG=BP/CP
设BG=a  CG=b  CP=x
a/b=(a+b+x)/x
解得x=b(a+b)/(a-b)
注意到F为BC中点 即CF=(a+b)/2
代入化简可知 CP/PF=CG/CF=b/（a/2+b/2）

显然有CN∥MF
∴CP/PF=CN/FM=2CN/2FM=CQ/AB
∴CQ/AB=CG/CF=CG/BF
又∠QCG=∠ABF
∴△QCG∽△ABF
∴∠QGC=90°  QCGI四点共圆

∴∠GDC=∠EDC=∠EAC=∠CQG=A/2
∴GQDC四点共圆
Q.E.D

【 在 hound 的大作中提到: 】
: 做IN'垂直AF交AC于点N',IN'//BC => ∠N'IC=∠ICB=∠ICN'，IN'=N'C，所以N'在IC中垂线上，N'即为过C，I和AI相切的圆的圆心，N与N'重合。
: 设MN交BC与P1，AD交BC于P2。
: 由梅列劳斯定理可得BP1/P1C=AN/NC=AN/IN=AC/FC。
: ...................
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FROM 111.199.185.*