△ABC中 P和Q为BC上两点 满足BP=CQ且 P位于B和Q之间
D为BC中点
圆APQ交AB于E 交AC于F
EP∩FQ=T
过D做AB平行线 交EP于X
过D做AC平行线 交FQ于Y
求证：圆TXY与圆APQ相切
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FROM 111.199.185.*

延长AD交圆APQ于H 连接XH YH
∠QPT=∠EPB=∠BAQ
∠PQT=∠CQF=∠CAP
∴∠T=180°-∠BAC-∠PAQ

由平行和共圆
∠DXP=∠BEP=∠PHA=∠PHD
∴PDHX四点共圆
同理QDHY四点共圆

∴∠PHX=∠PDX=∠B
∠QHY=∠QDY=∠C
∴∠XHY=360°-（180°-∠PAQ）-∠B-∠C=∠BAC+∠PAQ
∠XHY+∠T=180°
∴TXHY四点共圆
即H点也在圆TXY上 下面证明这个H是两圆切点

显然有△PDX∽△PBE∽△ABQ
∴DX/BQ=DP/AB 即DX*AB=DP*BQ
同理△DYQ∽△CAP
DY*AC=CP*DQ
显然有 CP=BQ   DP=DQ
∴DX/DY=AC/AB
显然∠ADY=∠MDN=∠BAC
∴△XDY∽△CAB
∴∠DYX=∠PHX=∠B

过H做圆APQ的切线 在切线上远离C点一侧任意找一点L
则∠PHL=∠PQH=∠DQH=∠DYH
∴∠LHX=∠B-∠PHL=∠B-∠DYH=∠HYX
∴LH也是圆TXY的切线
Q.E.D

【 在 hound 的大作中提到: 】
: 目测不容易
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