延长PD与QE 交于F点
显然有∠FPA=∠FQA=A/2  还显然有PAQ三点共线
RT△PDA∽RT△QEA
∴FQ=FP
∠EFD=∠QFP=180°-A
ADFE四点共圆
由塞瓦定理
(sin∠DAJ*sin∠JEA*JE)/(sin∠JAE*DJ*sin∠JDA)=1（当中省略了一步用正弦定理把其中一项正弦比换成边的比）
∴sin∠DAJ/sin∠JAE=(DJ/JE)*(sin∠JDA/sin∠JEA)
由正弦定理
DJ/sin∠FPE=DP/sin∠DJP   ∴DJ=DP*sin∠FPE/sin∠DJP
JE/sin∠FQD=EQ/sin∠EJQ  ∴JE=EQ*sin∠FQD/sin∠EJQ
∠DJP=∠EJQ
∴DJ/JE=（DP*sin∠FPE）/（EQ*sin∠FQD）
∴sin∠DAJ/sin∠JAE=（DP*sin∠FPE*sin∠JDA）/（EQ*sin∠FQD*sin∠JEA）
=(AD/AE)*（sin∠JDA/sin∠JEA）*（sin∠FPE/sin∠FQD）（∵DP/EQ=AD/AE）

由分角定理（面积比）
S△FPE/S△FPQ=PE*sin∠FPE/PQ*sin∠FPQ=EF/FQ
S△FQD/S△FQP=QD*sin∠FQD/PQ*sin∠FQP=DF/FP

∴sin∠FPE/sin∠FQD=(EF*QD)/(DF*PE)
∴sin∠DAJ/sin∠JAE=(AD/AE)*（sin∠JDA/sin∠JEA）*(EF*QD)/(DF*PE)
=(EF*S△DAQ)/(DF*S△EAP)
由RT△PDA∽RT△QEA
显然有DA*AQ=AE*AP  
又∠DAQ=∠EAP=90°+A/2
∴S△DAQ=S△QEA
∴sin∠DAJ/sin∠JAE=EF/DF=sin∠EAF/sin∠DAF
注意到∠DAJ+∠JAE=∠EAF+∠DAF＜π
积化和差 消掉相同项后 再和差化积
得到sin∠DAE*sin(∠DAJ-∠EAF)=0
由∠DAE∈（0，π） ∠DAJ-∠EAF∈（-π,π）
∴∠DAJ=∠EAF
Q.E.D

【 在 calculus2000 的大作中提到: 】
: △ABC中 P为C-旁切圆圆心 该圆与AB切于D点
: Q为B-旁切圆圆心 该圆与AC切于E点
: PE和QD交于J点
: ...................


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修改:calculus2000 FROM 111.199.185.*
FROM 199.230.105.*

提供一个略简单的证明。
本质是等腰三角形中底边上一点M，做MO⊥IK，MN⊥LK，IN与LO交于W，证明MW⊥ON。
做OS⊥IN于点R，NS⊥LO于T点，MU⊥OS于点U，MV⊥NS于点V，则W为△SON垂心，只要证明SM⊥ON即可。
MU=OM*sin∠OIN，MV=MN*sin∠KLO，MU/MV=OM/MN*sin∠OIN/sin∠KLO=(IO* sin∠OIN)/(LN*sin∠KLO)=OR/TN=OW/WN，又∠UMV=∠OWN，所以△UMV∽△OWN，∠MSV=∠MUV=∠WON，所以SM⊥ON。
※ 修改:·hound 于 Oct 20 23:06:10 2025 修改本文·[FROM: 183.192.101.115]
※ 来源:·https://exp.mysmth.net·[FROM: 117.136.119.157]

修改:hound FROM 183.192.101.115
FROM 117.136.119.157