设BK与AC交于N点
由已知AB=AE以及AD平分∠BAC 易知AD垂直平分BE
由BD=BF 以及AD⊥BE 易知BE垂直平分DF
∴BDEF为菱形
∴EF∥BD
∴BM/EF=BK/KF
BC/EF=BN/FN
由内外角平分线定理可知：BF/FN=AB/AN=BK/KN

设BF=a FN=b KN=x
则a/b=(a+b+x)/x
解得KN=x=（ab+b^2)/(a-b)
∴2BM/EF=2BK/KF=2(a+b+x)/(b+x)
把x=（ab+b^2)/(a-b)代入 化简得：2BM/EF=2BK/KF=(a+b)/b=BN/FN=BC/EF
∴BC=2BM
QED

后面设x解KN这一步 实质上就是在推导一个调和点列的性质
对那些性质熟悉的 可以一眼直接看出2BK/KF=BN/FN这个等式来
这题不需要任何辅助线 属于一眼看上去立刻就能知道思路和方向的题
即使对调和点列一点都不知道的非奥赛普通初中生
也能找到去证明2BK/KF=BN/FN 这个方向
这题当一道中考题还是可以的
一点都不超纲

其实这题稍微改一点 就可以做到难度倍增 但同样还可以不超纲
就用你这图 增加一条信息 延长KA和CB交于G点
求证：CM^2=MD*MG 这个式子的本质还是证明M为BC中点
这么改一下 再给没受过奥赛训练的初中生做 基本就是送命题了
但实质上 改过的这题拿到中考也一点都不超纲
不过估计没有哪个老师敢这么出中考题里的“棺材题” 他们都太善良
【 在 xeh 的大作中提到: 】
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