分析与方程类问题4:定义序列 a_{n+1} = a_n + a_n*a_n/n/n ,0<=a_1<1,证明 lim_{n->∞}a_n 存在且有限。
不知道这么证明是否严谨(有些步骤写得比较省略):
1)令b_n = a_n/n,则 b_{n+1}-b_n = -b_n * (1-b_n)/(n+1)。由b_1<1可得{b_n}单调递减,且lim_{n->∞}b_n = 0。
2)令c_n = b_n^2 = a_{n+1}-a_n,则原题等价于证明级数{c_n}收敛。
3) c_{n+1}/c_n = (n+b_n)^2/(n+1)^2。易证当n足够大时,存在不依赖于n的实数s>1,使得 c_{n+1}/c_n < 1-s/n。
4)级数{1/n^s}在s>1时是收敛的,连续两项之比趋近于1-s/n。所以级数{c_n}也是收敛的。
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FROM 49.77.188.*